Скалярная кривизна

Скалярная кривизна (скаляр Риччи) R — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором:

$R \,= g^{\mu\nu} \, R_{\mu\nu}$

Таким образом, скалярная кривизна есть след тензора Риччи.

Уравнения гравитационного поля

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:

$S_{G} =\varkappa \int\limits_{M} R \sqrt{-g} d \Omega$

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путем взятия производной Эйлера-Лагранжа от скалярной плотности кривизны $\sqrt{-g} \, R$.

Двумерные поверхности

Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с гауссовой кривизной многообразия. Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на $2\pi$ — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса-Бонне.