Скалярная кривизна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Скалярная кривизна (скаляр Риччи) R — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором:

R \,= g^{\mu\nu} \, R_{\mu\nu}

Таким образом, скалярная кривизна есть след тензора Риччи.

Уравнения гравитационного поля[править | править вики-текст]

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:

S_{G} =\varkappa \int\limits_{M} R \sqrt{-g} d \Omega

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путем взятия производной Эйлера-Лагранжа от скалярной плотности кривизны \sqrt{-g} \, R[1].

Двумерные поверхности[править | править вики-текст]

Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с гауссовой кривизной многообразия. Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на 2\pi — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса-Бонне.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Научная Сеть >> Теория относительности для астрономов