Субгармоническая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи, и класс гармонических функций.

Определение[править | править вики-текст]

Непрерывная функция U(M), заданная в точках M(x_1, ..., x_k) произвольной k-мерной области G пространства E_k, называется субгармонической, если, каким бы ни был шар Q с центром в точке M_0, принадлежащий вместе со своей границей области G, справедливо неравенство  {U(M_0)} \le \frac{1}{\sigma(\gamma(Q))} \int\limits_{\gamma(Q)} U(M) d\sigma, и супергармонической, если  {U(M_0)} \ge \frac{1}{\sigma(\gamma(Q))} \int\limits_{\gamma(Q)} U(M) d\sigma.[1]

Основные свойства[править | править вики-текст]

  1. f — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
  2. Если G\subset\R^n — открытое множество и f\in\mathcal{C}^2(G) (\mathcal{C}^2(G) — класс дважды непрерывно дифференцируемых на G функций), то для субгармоничности f необходимо и достаточно выполнение на G условия \Delta f\geqslant 0 (\Delta — оператор Лапласа).
  3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Связь с аналитическими функциями[править | править вики-текст]

Теория субгармонических функций находит немалое применение в комплексном анализе, потому что субгармонические и аналитические функции тесно связаны. А именно, можно показать что для любой аналитической в некоторой области G\subset\C функции f(z) функция \varphi(z)=\log|f(z)| будет субгармонической в G, если рассматривать G как подмножество \R^2.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций, М.: Наука, 1968