Субгармоническая функция

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи, и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция $U(M)$, заданная в точках $M(x_1, ..., x_k)$ произвольной k-мерной области $G$ пространства $E_k$, называется субгармонической, если, каким бы ни был шар $Q$ с центром в точке $M_0$, принадлежащий вместе со своей границей области $G$, справедливо неравенство ${U(M_0)} \le \frac{1}{\sigma(\gamma(Q))} \int\limits_{\gamma(Q)} U(M) d\sigma$, и супергармонической, если ${U(M_0)} \ge \frac{1}{\sigma(\gamma(Q))} \int\limits_{\gamma(Q)} U(M) d\sigma$.

Основные свойства

1. $f$ — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
2. Если $G\subset\R^n$ — открытое множество и $f\in\mathcal{C}^2(G)$ ($\mathcal{C}^2(G)$ — класс дважды непрерывно дифференцируемых на $G$ функций), то для субгармоничности $f$ необходимо и достаточно выполнение на $G$ условия $\Delta f\geqslant 0$ ($\Delta$ — оператор Лапласа).
3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Связь с аналитическими функциями

Теория субгармонических функций находит немалое применение в комплексном анализе, потому что субгармонические и аналитические функции тесно связаны. А именно, можно показать что для любой аналитической в некоторой области $G\subset\C$ функции функция $\varphi(z)=\log|f(z)|$ будет субгармонической в $G$, если рассматривать $G$ как подмножество $\R^2$.

См. также

• Плюрисубгармоническая функция