Сходимость по мере

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

Определение[править | править исходный текст]

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) — пространство с мерой. Пусть f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty} сходится по мере к функции f, если

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0 .

Обозначение: f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow}  f.

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) с определёнными на нём случайными величинами X_n,X,\; n=1,2,\ldots, то говорят, что \{X_n\}_{n=1}^{\infty} сходится по вероятности к X, если

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0.

Обозначение: X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X.

Замечание[править | править исходный текст]

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мере[править | править исходный текст]

Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций f_n сходится по мере к f, то у неё существует подпоследовательность f_{n_k}, сходящаяся к f \mu-почти всюду.

Теорема (критерий сходимости по мере): Последовательность функций f_n сходится по мере к f тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности f_n существует подпоследовательность, которая сходится к f почти всюду.

  • Если последовательность функций f_n сходится по мере к f, и \forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g, где g \in L^p,\; p \geqslant 1, то f_n, f \in L^p, и f_n сходится к f в L^p.
  • Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций f_n сходится \mu-почти всюду к f, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность функций f_n сходится в L^p к f, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
  • Если последовательность случайных величин X_n сходится по вероятности к X, то она сходится к X и по распределению.