Теорема Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году[1], хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

Формулировка[править | править исходный текст]

Для начала, введём несколько определений.

Пусть A=(a_{ij}) — матрица размера n \times n, и пусть выбраны любые k строк матрицы A с номерами i_1 < i_2 < \ldots < i_k и любые k столбцов с номерами j_1 < j_2 < \ldots < j_k.

Определитель матрицы, получаемой из A вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором k-го порядка, расположенным в строках с номерами i_1, i_2, \ldots, i_k и столбцах с номерами j_1, j_2, \ldots, j_k. Он обозначается следующим образом:


M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} = \det \begin{pmatrix}
  a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \ldots & a_{i_1 j_k} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{i_k j_1} & a_{i_k j_2} & \ldots & a_{i_k j_k}
\end{pmatrix}.

А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k}:


\overline{M}^{\,i_1,\ldots,i_k}_{\,j_1,\ldots,j_k}
  = \det \begin{pmatrix}
  a_{i_{k+1} j_{k+1}} & a_{i_{k+1} j_{k+2}} & \ldots & a_{i_{k+1} j_n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{i_n j_{k+1}} & a_{i_n j_{k+2}} & \ldots & a_{i_n j_n}
\end{pmatrix},

где i_{k+1} < \ldots < i_n и j_{k+1} < \ldots < j_n — номера невыбранных строк и столбцов.

Алгебраическое дополнение минора M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} определяется следующим образом:

A^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} = (-1)^{p+q} \overline{M}^{\,i_1,\ldots,i_k}_{\,j_1,\ldots,j_k}

где p = i_1 + \ldots + i_k, q = j_1 + \ldots + j_k.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые k строк матрицы A. Тогда определитель матрицы A равен сумме всевозможных произведений миноров k-го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.
\det A = \sum_{j_1<\ldots<j_k}M^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k} A^{i_1,\ldots,i_k}_{j_1,\ldots,j_k},
где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов j_1, \ldots, j_k.

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать k столбцов из n, то есть биномиальному коэффициенту \textstyle {n \choose k}.

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)[править | править исходный текст]

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть A = (a_{ij}) — квадратная матрица размера n \times n. Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по i-й строке:

\det A = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}

Разложение по j-му столбцу:

\det A = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij}

где A_{ij} — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j. A_{ij} также называют алгебраическим дополнением к элементу a_{ij}.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать i-ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2 (фальшивое разложение определителя)[править | править исходный текст]

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0 . С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]