Теорема Лебега о разложении меры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вводные определения

Пусть F — монотонно неубывающая функция, непрерывная справа на отрезке [a,\;b]. На [a,\;b] вводится борелевская алгебра:

m[a,\;b)=F(b)-F(a),
m(a,\;b)=F(b)-F(a+0),
m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0),
m[a,\;b]=F(b+0)-F(a),

\mu_F — мера Стилтьеса на отрезке [a,\;b], для производящей функции которой: F(+\infty)-F(-\infty). Поэтому можно продолжить меру на всю числовую прямую.

Частные случаи производящей функции:

  • F — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество A — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

\mu_F(A)=\sum\limits_{x_i\in A}h_i — дискретная мера.

  • Функция F непрерывна, монотонно не убывает на [a,\;b], на (a,\;b) F'(x)=f(x).

\mu_F(A)=\int\limits_A f(x)\,dx — абсолютно непрерывная мера.

  • F — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение F равно 1 на всём отрезке, но почти всюду const). Мера сосредоточена в точках роста функции.
Теорема разложения меры

Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.