Монотонная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рисунок 1. Монотонно возрастающая функция. Она строго возрастает слева и справа, а в центре не убывает.
Рисунок 2. Монотонно убывающая функция.
Рисунок 3. Функция не являющаяся монотонной

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R. Тогда

  • функция f называется возраста́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y).
  • функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y).
  • функция f называется убыва́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y).
  • функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если
\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология[править | править вики-текст]

  • Функция f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек x_1 и x_2 этого интервала, таких что x_1<x_2, справедливо f(x_1)<f(x_2). Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Функция f(x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек x_1 и x_2 этого интервала, таких что x_1<x_2, справедливо f(x_1)>f(x_2). Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  • Функция f(x) называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек x_1 и x_2 этого интервала, таких что x_1<x_2, справедливо f(x_1) \le f(x_2).
  • Функция f(x) называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек x_1 и x_2 этого интервала, таких что x_1<x_2, справедливо f(x_1) \ge f(x_2).
  • Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.

Свойства монотонных функций[править | править вики-текст]

Условия монотонности функции[править | править вики-текст]

  • (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция f \in C \bigl( (a,b) \bigr) непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке x\in (a,b) производную f'(x). Тогда
    f не убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда \forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge  0;
    f не возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда \forall x \in (a,b)\; f'(x) \le  0.
  • (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция f \in C \bigl( (a,b) \bigr) непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке x\in (a,b) производную f'(x). Тогда
    если \forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0, то f строго возрастает на (a,b);
    если \forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0, то f строго убывает на (a,b).

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

  • (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть f\in C\bigl( (a,b) \bigr), и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
  1. \forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;
  2. \forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. \forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;
  2. \forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Функция f(x)=x^3 строго возрастает на всей числовой прямой, не смотря на то, что точка x=0 является стационарной, т.е. в этой точке f'(x)=0.
  • Функция f(x)= \sin x является строго возрастающей не только на открытом интервале (- \pi /2; \pi /2), но и на замкнутом интервале [- \pi /2; \pi /2].
  • Экспонента f(x) = e^x строго возрастает на всей числовой прямой.
  • Константа f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R} одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
  • Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
  • Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Монотонная функция / Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

См. также[править | править вики-текст]