Монотонная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Содержание

1 Определения
2 Другая терминология
3 Свойства монотонных функций
4 Условия монотонности функции
5 Примеры
6 См. также

[править] Определения

Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R.$ Тогда

функция $f$ называется возраста́ющей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)$ .

функция $f$ называется стро́го возраста́ющей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y)$ .

функция $f$ называется убыва́ющей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)$ .

функция $f$ называется стро́го убыва́ющей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)$ .

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

[править] Другая терминология

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

[править] Свойства монотонных функций

Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
Монотонная функция, $f:[a,b] \to \R,$ определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
Монотонная функция $f:(a,b) \to \R$ дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

[править] Условия монотонности функции

(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция $f \in C \bigl( (a,b) \bigr)$ непрерывна на $(a, b),$ и имеет в каждой точке $x\in (a,b)$ производную $f'(x).$ Тогда

$f$ возрастает на $(a, b)$ тогда и только тогда, когда $\forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge 0;$

$f$ убывает на $(a, b)$ тогда и только тогда, когда $\forall x \in (a,b)\; f'(x) \le 0.$
(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция $f \in C \bigl( (a,b) \bigr)$ непрерывна на $(a, b),$ и имеет в каждой точке $x\in (a,b)$ производную $f'(x).$ Тогда

если $\forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0,$ то $f$ строго возрастает на $(a, b);$

если $\forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0,$ то $f$ строго убывает на $(a, b).$

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале $(a, b).$ Точнее имеет место

(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть $f\in C\bigl( (a,b) \bigr),$ и всюду на интервале определена производная $f'(x).$ Тогда $f$ строго возрастает на интервале $(a, b)$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

$\forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;$
$\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.$

Аналогично, $f$ строго убывает на интервале $(a, b)$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

$\forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;$
$\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.$

[править] Примеры

Экспонента $f (x) = e x$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Парабола $f (x) = x 2$ строго убывает на $(-\infty,0]$ и строго возрастает на $[0,\infty)$ .
Константа $f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R}$ одновременно возрастает и убывает на всей числовой прямой.
Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.