Теорема об открытом отображении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема об открытом отображении утверждает

Линейный непрерывный оператор A, отображающий банахово пространство X на все банахово пространство Y, является открытым отображением, то есть A(G) открыто в Y для любого G, открытого в X;


Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве X со значениями в \R (или в \mathbb C).

Теорема доказана Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме:

Непрерывный линейный оператор A, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, является гомеоморфизмом, т.е. A^{-1} ― также линейный непрерывный оператор.


Обобщения[править | править исходный текст]

Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение:

Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство X на бочечное пространство Y, есть открытое отображение.

См. также[править | править исходный текст]