Теорема об открытом отображении

Теорема об открытом отображении утверждает

Линейный непрерывный оператор $A$, отображающий банахово пространство $X$ на все банахово пространство $Y$, является открытым отображением, то есть $A(G)$ открыто в $Y$ для любого $G$, открытого в $X$;

Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве $X$ со значениями в $\mathbb {R}$ (или в $\mathbb {C}$).

Теорема доказана Стефаном Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме:

Непрерывный линейный оператор $A$, отображающий взаимно однозначно банахово пространство $X$ на банахово пространство $Y$, является гомеоморфизмом, то есть $A^{-1}$ ― также линейный непрерывный оператор.

Обобщения

Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение:

Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство $X$ на бочечное пространство $Y$, есть открытое отображение.

См. также

• Теорема о замкнутом графике