Уравнение Линарда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Лиенара — уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Лиенара.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть f и g — две гладкие функции в пространстве R^3. Пусть g — нечётная функция, а f — чётная. Тогда уравнение вида

{d^2x \over dt^2}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0

называется уравнением Лиенара.[1]

Кроме того, уравнение Лиенара можно[2][3] свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену v = {dx \over dt}. Тогда уравнение Лиенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0

Примеры[править | править исходный текст]

Связанные определения[править | править исходный текст]

Система Лиенара[править | править исходный текст]

Уравнение Лиенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

F(x) := \int_0^x f(\xi) d\xi;
x_1:= x\,;
x_2:={dx \over dt} + F(x).

Тогда система вида

\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{h}(x_1, x_2) := \begin{bmatrix} x_2 - F(x_1) \\ -g(x_1) \end{bmatrix}

называется системой Лиенара.

Теорема Лиенара[править | править исходный текст]

Система Лиенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём критериям:

  • g(x)>0 для всех x>0;
  • \lim_{x \to \infty} F(x) := \lim_{x \to \infty} \int_0^x f(\xi) d\xi\ = \infty;
  • F(x) имеет только один положительный корень при некотором значении параметра p, где
F(x)<0 при 0<x<p и
F(x)>0 и монотонна при x>p.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Liénard, A. (1928) "Etude des oscillations entretenues, " Revue générale de l'électricité 23, pp. 901—912 and 946—954.
  2. Liénard equation at eqworld.
  3. Abel equation of the second kind at eqworld.

См. также[править | править исходный текст]