Уравнение Линарда

Уравнение Лиенара — уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Лиенара.

Определение

Пусть $f$ и $g$ — две гладкие функции в пространстве $R^3$. Пусть $g$ — нечётная функция, а $f$ — чётная. Тогда уравнение вида

${d^2x \over dt^2}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0$

называется уравнением Лиенара.

Кроме того, уравнение Лиенара можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену $v = {dx \over dt}$. Тогда уравнение Лиенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: $v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0$

Примеры

• Осциллятор Ван дер Поля ${d^2x \over dt^2} - \mu (1-x^2) {dx \over dt} + x= 0$ имеет вид уравнения Лиенара при $\left \{ \begin{matrix} f(x)=\mu(1-x^2) \\ g(x)=x \end{matrix} \right.$.

Связанные определения

Система Лиенара

Уравнение Лиенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

$F(x) := \int_0^x f(\xi) d\xi$;

$x_1:= x\,$;

$x_2:={dx \over dt} + F(x)$.

Тогда система вида

$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{h}(x_1, x_2) := \begin{bmatrix} x_2 - F(x_1) \\ -g(x_1) \end{bmatrix}$

называется системой Лиенара.

Теорема Лиенара

Система Лиенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём критериям:

• $g(x)>0$ для всех $x>0$;
• $\lim_{x \to \infty} F(x) := \lim_{x \to \infty} \int_0^x f(\xi) d\xi\ = \infty;$
• $F(x)$ имеет только один положительный корень при некотором значении параметра $p$, где

$F(x)<0$ при $0<x<p$ и

$F(x)>0$ и монотонна при $x>p$.

См. также

• Дифференциальное уравнение;
• Осциллятор.