Условная вероятность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Усло́вная вероя́тность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) — фиксированное вероятностное пространство. Пусть A,B\in \mathcal{F} два случайных события, причём \mathbb{P}(B)>0. Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется

\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.

Замечания[править | править вики-текст]

Круговая диаграмма Венна для условной вероятности
  • Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B).
  • Если \mathbb{P}(B) = 0, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
  • Условная вероятность является вероятностью, то есть функция \mathbb{Q}_{ B}:\mathcal{F}\to \mathbb{R},\, B \in \mathcal{F}, заданная формулой
\mathbb{Q}_{ B}(A) = \mathbb{P}(A \mid B ),\; \forall A \in \mathcal{F},

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Пример[править | править вики-текст]

Если A,B — несовместимые события, то есть A \cap B = \varnothing и \mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0, то

\mathbb{P}(A \mid B) = 0

и

\mathbb{P}(B \mid A) = 0.
Предположим, что по статистике вероятность того, что человек доживает до 80 лет \mathbb{P}(B) = 0,3, а вероятность того, что человек доживёт до 90 лет \mathbb{P}(A) = 0,2.
Какова вероятность того, что человек доживший до 80 лет доживёт до 90?

Решение:

\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)*\mathbb{P}(B) (если независимы)

но так как вероятности зависимы, то пересечение вероятности будет 0,2
\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}
0,2/0,3 = 2/3 ≈ 0,67

См. также[править | править вики-текст]