Условная вероятность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) — фиксированное вероятностное пространство. Пусть A,B\in \mathcal{F} два случайных события, причём \mathbb{P}(B)>0. Тогда условной вероятностью события A при условии события B называется

\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.

Замечания[править | править исходный текст]

Круговая диаграмма Венна для условной вероятности
  • Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:
\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B).
  • Если \mathbb{P}(B) = 0, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
  • Условная вероятность является вероятностью, то есть функция \mathbb{Q}_{ B}:\mathcal{F}\to \mathbb{R},\, B \in \mathcal{F}, заданная формулой
\mathbb{Q}_{ B}(A) = \mathbb{P}(A \mid B ),\; \forall A \in \mathcal{F},

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Пример[править | править исходный текст]

Если A,B — несовместимые события, то есть A \cap B = \varnothing и \mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0, то

\mathbb{P}(A \mid B) = 0

и

\mathbb{P}(B \mid A) = 0.

См. также[править | править исходный текст]