Формула Эйлера (дифференциальная геометрия)

Нормальные сечения поверхности и нормальные кривизны

Формула Эйлера — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.

Названа в честь Леонарда Эйлера, который доказал её в 1760 году.

Формулировка

Пусть $\Phi$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть $p$ — точка $\Phi ,$ $T_{p}$ — касательная плоскость к $\Phi$ в точке $p,$ $n$ — единичная нормаль к $\Phi$ в точке $p,$ а $\pi _{e}$ — плоскость, проходящая через $n$ и некоторый единичный вектор $e$ в $T_{p}$. Кривая $\gamma _{e},$ получающаяся как пересечение плоскости $\pi _{e}$ с поверхностью $\Phi ,$ называется нормальным сечением поверхности $\Phi$ в точке $p$ в направлении $e.$ Величина

$\kappa _{e}=k\cdot n$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $k$ — вектор кривизны $\gamma _{e}$ в точке $p$, называется нормальной кривизной поверхности $\Phi$ в направлении $e$. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой $\gamma _{e}$.

В касательной плоскости $T_{p}$ существуют два перпендикулярных направления $e_{1}$ и $e_{2}$ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

$\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha$

где $\alpha$ — угол между этим направлением и $e_{1}$, a величины $\kappa _{1}$ и $\kappa _{2}$ нормальные кривизны в направлениях $e_{1}$ и $e_{2}$, они называются главными кривизнами, а направления $e_{1}$ и $e_{2}$ — главными направлениями поверхности в точке $p$. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

См. также

• Вторая квадратичная форма
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Индикатриса Дюпена
• Кривизна

Ссылки

• Euler, Leonhard (1760), "Recherches sur la courbure des surfaces", Memoires de l'academie des sciences de Berlin, 16 (published 1767): 119—143.