Кривизна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой[править | править вики-текст]

Пусть \gamma(t) — регулярная кривая в d-мерном евклидовом пространстве, параметризованная ее длиной t. Тогда

\kappa=|\ddot\gamma(t)|

называется кривизной кривой \gamma в точке p=\gamma(t), здесь \ddot\gamma(t) обозначает вторую производную по t. Вектор

k=\ddot\gamma(t)

называется вектором кривизны \gamma в точке p=\gamma(t).

Очевидно, это определение нужно переписать через вектор касательной \tau(t) = \dot\gamma(t):

k=\dot\tau(t),

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

float

Для кривой, заданной параметрически в общем случае кривизна отображается формулой

\kappa=\frac{|\gamma'\times \gamma''|}{|\gamma'|^3},

где \gamma' и \gamma'' соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора \gamma в требуемой точке по параметру (при этом под крестом \times для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением y = y(x), кривизна вычисляется по формуле:

\kappa(x) = \frac{|y''|}{(\sqrt{1+y'^2})^3}.

Для того чтобы кривая \gamma совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой (r=1/\kappa), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Кривизна поверхности[править | править вики-текст]

Пусть \Phi есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть p — точка \Phi, T_p — касательная плоскость к \Phi в точке p, n — единичная нормаль к \Phi в точке p, а — \pi_e плоскость, проходящая через n и некоторый единичный вектор e в T_p. Кривая \gamma_e, получающаяся как пересечение плоскости \pi_e с поверхностью \Phi, называется нормальным сечением поверхности \Phi в точке p в направлении e. Величина

\kappa_e=k\cdot n

где \cdot обозначает скалярное произведение, а k — вектор кривизны \gamma_e в точке p, называется нормальной кривизной поверхности \Phi в направлении e. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой \gamma_e.

В касательной плоскости T_p существуют два перпендикулярных направления e_1 и e_2 такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha

где \alpha — угол между этим направлением и e_1, a величины \kappa_1 и \kappa_2 нормальные кривизны в направлениях e_1 и e_2, они называются главными кривизнами, а направления e_1 и e_2 — главными направлениями поверхности в точке p. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H=\kappa_1+\kappa_2, (иногда \frac{\kappa_1+\kappa_2}2)

называется средней кривизной поверхности. Величина

K=\kappa_1\kappa_2

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]