Кривизна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт совпадение (локальное, но не глобальное) изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

[править] Кривизна кривой

Пусть $γ(t)$ — регулярная кривая в $d$ -мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда

$\kappa=|\ddot\gamma(t)|$

называется кривизной кривой $γ$ в точке $p = γ(t)$ , здесь $\ddot\gamma(t)$ обозначает вторую производную по $t$ . Вектор

$k=\ddot\gamma(t)$

называется вектором кривизны $γ$ в точке $p = γ(t 0)$ .

Для кривой, заданной параметрически в общем случае (параметр не обязательно является длиной), кривизна отображается формулой

$\kappa=\frac{|\dot\gamma\times \ddot\gamma|}{|\dot\gamma|^3}$ ,

где $\dot\gamma$ и $\ddot\gamma$ соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора $γ$ в требуемой точке.

Для того чтобы кривая $γ$ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны.

[править] Радиус кривизны

Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую.

Радиус кривизны совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны.

Для параметрически заданой кривой радиус кривизны можно найти, воспользовавшись формулой:

$R = \frac {1}{\kappa} = \frac {|\dot\gamma|^3} {|\dot\gamma\times \ddot\gamma|}$

[править] Кривизна поверхности

Пусть $Φ$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть $p$ — точка $Φ$ , $T p$ — касательная плоскость к $Φ$ в точке $p$ , $n$ — единичная нормаль к $Φ$ в точке $p$ , а — $π e$ плоскость, проходящая через $n$ и некоторый единичный вектор $e$ в $T p$ . Кривая $γ e$ , получающаяся как пересечение плоскости $π e$ с поверхностью $Φ$ , называется нормальным сечением поверхности $Φ$ в точке $p$ в направлении $e$ . Величина

$\kappa_e=k\cdot n$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $k$ — вектор кривизны $γ e$ в точке $p$ , называется нормальной кривизной поверхности $Φ$ в направлении $e$ . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой $γ e$ .

В касательной плоскости $T p$ существуют два перпендикулярных направления $e 1$ и $e 2$ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

κ e = κ 1 cos 2 α + κ 2 sin 2 α

где $α$ — угол между $e 1$ и $e$ , a величины $κ 1$ и $κ 2$ нормальные кривизны в направлениях $e 1$ и $e 2$ , они называются главными кривизнами, а направления $e 1$ и $e 2$ — главными направлениями поверхности в точке $p$ . Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H = κ 1 + κ 2

, (иногда $\frac{\kappa_1+\kappa_2}2$ )

называется средней кривизной поверхности. Величина

K = κ 1 κ 2

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибаниях.

[править] См. также

[править] Литература

Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Кривизна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Кривизна кривой

[править] Радиус кривизны

[править] Кривизна поверхности

[править] См. также

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках