Поризм Понселе

Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Назван в честь Жан-Виктора Понселе.

История

Поризм Понселе был открыт французским математиком Жан-Виктором Понселе в 1812—1814 годах, когда он находился в плену в Саратове. В саратовском плену он написал (в основном) свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии (семь тетрадей, изданных впоследствии — в 1862—1864 годах — под заглавием «Applications d’Analyse et de Géometrie»).

Частный случай для треугольника можно вывести из теоремы Эйлера.

Формулировка

Пусть $A_{1}A_{2}\ldots A_{n}$ — многоугольник с $n$ различными вершинами, вписанный в конику $C$ и описанный около другой коники $\Gamma$. Тогда для любых точек $B_{1},B_{2}$ коники $C$, таких, что $B_{1}\neq B_{2}$ и $B_{1}B_{2}$ касается $\Gamma$, существует многоугольник $B_{1}B_{2}\ldots B_{n}$, вписанный в $C$ и описанный около $\Gamma$.

Замечания

• Если коника является окружностью, многоугольники, которые вписаны в один круг и описанные около другого называются бицентрическими многоугольниками. Подробнее — в .

Доказательство с помощью сложения точек на кубической кривой (Якоби)

Проективным преобразованием переведём какую-нибудь хорду $C$, касающуюся $\Gamma$ в бесконечно удалённую прямую. Теперь коника $\Gamma$ -- парабола, так как касается бесконечно удалённой прямой, а $C$ -- гипербола, раз проходит через две бесконечно удалённые точки. Без ограничения общности можно положить, что парабола задаётся уравнением $y=x^{2}$. Касательная $\ell _{s}$ в точке $\left(s,s^{2}\right)$ к параболе задаётся уравнением $y-2sx+s^{2}=0$. Ещё заметим, что гиперболу $C$ можно получить аффинным преобразованием из гиперболы $xy=1$. Точку на гиперболе $xy=1$ можно параметризовать как $\left(t,{\dfrac {1}{t}}\right)$. Поэтому точку на гиперболе $C$ можно параметризовать как $P_{t}=\left(a_{1}t+{\dfrac {b_{1}}{t}}+c_{1},a_{2}t+{\dfrac {b_{2}}{t}}+c_{2}\right)$. Подставив точку $P_{t}$ в уравнение $\ell _{s}$, получим некоторое уравнение, домножив это уравнение на $t$, получим уравнение кубической кривой $W(s,t)=0$ в новых координатах $s,t$ (см. Кубика). Также можно заметить, что $W(s,t)=0$ будет не выше второй степени по каждой из своих переменных, это будет важно чуть позднее. Также заведём на этой кубике группу сложения точек так, чтоб сумма любых трёх точек на одной прямой была равна нулю (это возможно сделать при помощи Теорема о девяти точках на кубической кривой).

Точка на гиперболе будет соответствовать значениям $t$, касательная к параболе будет соответствовать значениям $s$, поэтому пара из точки на гиперболе и проходящей через неё касательной к параболе будет соответствовать точке на кубике $W(s,t)=0$. Обратите внимание, что одинаковые значения $s$ дают нам одну и ту же касательную -- это будет важно в самом конце.

Теперь забудем про координаты $x,y$ и везде, когда речь идёт о координатах, будем иметь в виду $s,t$

Пусть касательная $\ell$ к параболе проходит через точки $P_{1}$ и $P_{2}$ на гиперболе. Пусть пара $\ell$ и $P_{1}$ соответствует точке $Q_{1}$ на кубике, и пусть координаты $Q_{1}$ равны $(s_{0},t_{0})$. Тогда можно записать, что пара $\ell$ и $P_{2}$ соответствует некоторой другой точке $Q_{2}$ на $W$ с координатами $(s_{0},k_{0})$. Посмотрим, где может располагаться третья точка пересечения прямой $Q_{1}Q_{2}$ с кубикой $W$. Ограничим кубику $W(s,t)=0$ на прямую $Q_{1}Q_{2}$, зафиксировав переменную $s=s_{0}$. Как мы уже заметили выше, уравнение $W(s,t)=0$, не выше чем второй степени по каждой из переменных, поэтому его ограничение $W(s_{0},t)=0$ также не выше второй степени. Но у $W(s_{0},t)=0$ уже есть два вещественных корня $t_{0}$ и $k_{0}$, поэтому у этого уравнения больше нет вещественных корней. Поэтому третья точка пересечения прямой $Q_{1}Q_{2}$ с кубикой бесконечно удалена. Но у кубики $W$ c бесконечно удалённой прямой конечное количество точек пересечения, поэтому из соображений непрерывности можно понять, что точка пересечения $Q_{1}Q_{2}$ с бесконечно удалённой прямой фиксирована, то есть, не зависит от $\ell$. Но третья точка пересечения $Q_{1}Q_{2}$ с $W$ равна $-Q_{1}-Q_{2}$ в смысле сложения точек на кубике. Поэтому сумма точек $Q_{1}+Q_{2}$ (опять же, в смысле сложения точек на кубике) фиксирована и не зависит от того, какую конкретно прямую $\ell$ мы берём.

Так же, если из одной точки $P$ провести две касательные $\ell _{1}$ и $\ell _{2}$ к параболе, можно показать, что для точек $R_{1},R_{2}$ на кубике $W$, соответствующих парам $\ell _{1},P$и $\ell _{2},P$ будет выполняться, что $R_{1}+R_{2}$ фиксировано и не зависит от выбора точки $P$. Действительно, пусть $\ell _{1},P$ соответствует точке с координатами $(s_{0},t_{0})$. Тогда можно показать, что пара $P,\ell _{2}$ соответствует точке с координатами $(h_{0},t_{0})$. Далее доказательство аналогично предыдущему.

Таким образом, если $AB,BC$ -- хорды гиперболы, касающиеся параболы, то, для перехода от пары $A,AB$ к паре $B,BC$ на кубике $W$ нам нужно добавить константyю точку, не зависяющую от положения точки $A$. Действительно, $(A,AB)_{w}-(B,BC)_{w}=(A,AB)_{w}+(B,AB)_{w}-((B,AB)_{w}-(B,BC)_{w})=const_{1}-const_{2}=const_{3}$, где за $(P,NM)_{w}$ обозначена точка на кубике, соответствтующая паре из точки $P$ и прямой $NM$, а за $const_{3}$ -- некоторая константная точка на $W$.

Возвращаясь к поризму Понселе, получается, что $0=(A_{1},A_{1}A_{2})_{w}-(A_{2},A_{2}A_{3})_{w}+(A_{2},A_{2}A_{3})_{w}-(A_{3},A_{3}A_{4})_{w}+\ldots +(A_{n},A_{n}A_{1})_{w}-(A_{1},A_{1}A_{2})_{w}=n\times const$, где сложение происходит в смысле сложения точек на кубике.

Пусть теперь мы, начиная с какой-то точки $B_{1}$, рисуем вписанно-описанную ломаную $B_{1}B_{2}B_{3}\ldots B_{n}B_{n+1}B_{n+2}\ldots$, и хотим показать, что $B_{1}=B_{n+1}$. Тогда

$(B_{1},B_{1}B_{2})_{w}-(B_{2},B_{2}B_{3})_{w}+(B_{2},B_{2}B_{3})_{w}-(B_{3},B_{3}B_{4})_{w}+\ldots +(B_{n},B_{n}B_{n+1})_{w}-(B_{n+1},B_{n+1}B_{n+2})_{w}=n\times const=0$, то есть, что

$(B_{1},B_{1}B_{2})_{w}=(B_{n+1},B_{n+1}B_{n+2})_{w}$. Из-за совпадения точек на кубике у них совпадают координаты по $s,t$. Совпадение координаты $s$ означает совпадение прямых $B_{1}B_{2}$ и $B_{n+1}B_{n+2}$. Из соображений непрерывности можно понять, что это означает $B_{1}=B_{n+1}$ (действительно, если мы устремим $B_{1}$ к $A_{1}$, то $B_{n+1}$ устремится к $A_{1}$ и в пределе будет $B_{1}=B_{n+1}\neq B_{n+2}$)

Геометрическое доказательство с помощью обобщённой окружности Аполлония

см. https://old.mccme.ru//free-books//mmmf-lectures/book.35.pdf, страницы 66- 68.

Данное доказательство работает, к сожалению, только для окружностей, или же коник, которые можно проективным преобразованием перевести в две окружности. То есть, оно не подойдёт, например, для двух эллипсов, пересекающихся в четырёх точках. Конечно, можно сказать, что две из этих точек пересечения можно перевести комплексно-проективным преобразованием в круговые точки $(1,i,0),(1,-i,0)$, но тогда потребуется доказывать, почему образы коник пересекут вещественную плоскость и почему на вещественной плоскости будут существовать образы точек $A_{i}$, что не тривиально.

Вариации и обобщения

Теорема Кэли

Пусть $f$ — окружность $x^{2}+y^{2}=1$, а $g$ — эллипс $ax^{2}+by^{2}=1$. Тогда условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots$. (Каждый коэффициент $c_{i}$ вычисляется через $a$ и $b$, например, $c_{0}=ab$.) А именно:

1. Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m+1$ шагов тогда и только тогда, когда

   ${\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix}}=0.$

2. Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m$ шагов тогда и только тогда, когда

   ${\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix}}=0.$

Теорема Шварца

Пусть $A_{0}A_{1}\dots$ — цепь Понселе. Обозначим через $\ell _{i}$ прямую $A_{i}A_{i+1}$ и рассмотрим точки пересечения $B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j}$. Тогда для любого целого $k$

1. Все точки $B_{i,i+k}$ лежат на одном коническом сечении.
2. Все точки $B_{i,k-i}$ лежат на одном коническом сечении.

Многомерный аналог

Алгебраическое доказательство теоремы Понселе опирается на тот факт, что пересечение двух квадрик в трёхмерном проективном пространстве — это эллиптическая кривая. В 1972 году Майлз Рид в своей диссертации доказал обобщение этого факта. Именно, теорема Рида утверждает, что многообразие, параметризующее линейные $(n-1)$-мерные подпространства в $(2n+1)$-мерном проективном пространстве, лежащие на пересечении двух $2n$-мерных квадрик (при условии, что это пересечение неособо), есть якобиево многообразие некоторой гиперэллиптической кривой (разветвлённого двойного накрытия рациональной кривой). Эту гиперэллиптическую кривую можно построить как геометрическое место $(n-1)$-мерных подпространств на пересечении двух квадрик, которые пересекают некоторое фиксированное $(n-1)$-мерное подпространство, также лежащее на пересечении квадрик, по подпространству размерности не менее $n-2$. Если эти квадрики приведены к главным осям (то есть имеют однородные уравнения

$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,$

$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$

для некоторых коэффициентов $b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1}$), то эта кривая бирационально изоморфна кривой, заданной уравнением

$y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).$

Донаги заметил, что закон сложения на таком многообразии можно определять геометрически. Именно, если $Q$ — какая-то квадрика из пучка, порождённого нашими двумя квадриками (обозначим их за $Q_{1}$ и $Q_{2}$), $E_{1}$ и $E_{2}$ — два $n$-мерных подпространства, лежащих на $Q$ и относящихся к одному и тому же связному семейству, и $E_{i}$ высекает на пересечении двух квадрик два $(n-1)$-мерных подпространства $\ell _{i1}$ и $\ell _{i2}$, то сложение однозначно определяется правилом $\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$ (и выбором нуля). К примеру, если $n=1$, то сложение точек на эллиптической кривой определяется следующим образом. Выберем точку $O$ в качестве нуля. Для того, чтобы сложить точки $A$ и $B$, проведём прямую $AB$, и рассмотрим квадрику из пучка, на которой эта прямая лежит (такая квадрика единственна и может быть построена, например, как объединение секущих прямой $AB$, дважды пересекающих эллиптическую кривую). Прямая $AB$, будучи образующей двумерной квадрики, принадлежит к однопараметрическому связному семейству. Выберем из этого семейства прямую $p$, проходящую через точку $O$. Вторая точка пересечения прямой $p$ с эллиптической кривой и будет суммой искомой суммой $A+B$.

См. также

• Поризм Штейнера — похожее утверждения для цепей окружностей.
• Теорема Эйлера (планиметрия) позволяет доказать частный случай поризма Понселе для $n=3$.

Литература

• Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. Poncelet’s closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.
• И. Д. Жижилкин, "Инверсия", издательство МЦНМО (2009).

Ссылки

• Жижилкин, "Инверсия"
• Живой чертёж.
• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
• Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Лекция 29 // Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
• В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архивная копия от 27 апреля 2016 на Wayback Machine, Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна.