Кубика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, т. е. множество точек плоскости (проективной, аффинной, евклидовой), однородные координаты которых (относительно соответственно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют уравнению третьей степени.

Содержание 1 Классификация 2 Свойства 3 Применения 4 Ссылки

[править] Классификация

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году ^[1]

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

Далее Ньютон делит все кривые классы, роды и типы. При этом 6 типов он пропустил. Полную классификацию дал Плюккер ^[2]

Будьте внимательны, в английской и французской Википедии рисунки отражают не все возможные типы кубик (июнь 2008). Для осмотра всех возможных типов кубик см. [21].

Аналогичной классификации для кривых n-ого порядка в настоящий момент (2008) не придумано, это задача составляет 16-ую проблему Гильберта.

[править] Свойства

• Даны 2 кубики A и B, имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую ^[3], ^[4].

• На кубике взяли точку A, и провели из нее 2 касательных к кубике - одна касается кубики в точке A, другая - в точке B. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны X и Y. Тогда X=16Y ^[5]

• Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, т.е. если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?

• Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в R² есть 4. Например: у (график состоит из трех удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки).

• Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.

• На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, что даёт возможность применять аппарат общей алгебры. ^[6]

• Прямая пересекает кубику в точках A,B,C. Касательные, восстановленные к кубике в точках A,B,C, пересекают второй раз кубику в точках P,Q,R. Тогда точки P,Q,R также лежат на одной прямой. ^[7][8]

[править] Применения

• Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
• Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. en:Elliptic curve cryptography.
• Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик, ^[9]
• Морлей доказал известную теорему Морлея, изучая свойства кубик^[10].

[править] Ссылки

1. Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированых точек) на языках Flash [22] и Java [23].

1. ↑ "Enumeratio linearum tertii ordinis" (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д.Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194-209, доступны online постранично на [1] и далее до [2]).
2. ↑ По-русски с полной классификацией (включающей забытые Ньютоном типы) можно познакомиться в книге: А.С.Смогоржевский и Е.С.Столова. "Справочник по теории плоских кривых третьего порядка" "Физматгиз", Москва, 1961.
3. ↑ [3]
4. ↑ [4]
5. ↑ Honsberger, R. More Mathematical Morsels. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p 114-118, 1991
6. ↑ Подробнее см. В. В. Острик, М. А. Цфасман. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. [5] или Ю.П. Соловьев "Рациональные точки на эллиптических кривых" [6].
7. ↑ [7].
8. ↑ См. также [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17].
9. ↑ см. [18] и [19].
10. ↑ см. его работы [20]