Кубика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кубика y² = x² · (x + 1). Параметризация: t → (t2 − 1, t · (t2 − 1))
Набор кубик

Ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением

F(x,y,z)=0,

которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости, чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить z = 1.

Классификация[править | править вики-текст]

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году[1].

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

  • xy^2+ey\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;
  • xy\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;
  • y^2\,=\,ax^3+bx^2+cx+d;
  • y\,=\,ax^3+bx^2+cx+d.

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом однако 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер[2].

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Теорема Шаля. Даны 2 кубики A и B, имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
  • На кубике взяли точку A, и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке A, другая — в точке B. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны X и Y. Тогда X=16Y [3].
  • Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
  • Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в R^2 есть 4. Например: у f(x,\;y)=3x^3-5y^2x-4x^2-10yx+10y^2-6x+20y+12 (график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки).
  • Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
  • На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой[4][5].
  • Прямая пересекает кубику в точках A,\;B,\;C. Касательные, восстановленные к кубике в точках A,\;B,\;C, пересекают второй раз кубику в точках P,\;Q,\;R. Тогда точки P,\;Q,\;R также лежат на одной прямой[6][7].

Применения[править | править вики-текст]

  • Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
  • Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
  • Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик[8].
  • Морлей доказал известную теорему Морлея, изучая свойства кубик[9].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. «Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на [1]).
  2. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: Физматгиз, 1961.
  3. Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.
  4. Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5
  5. Соловьев Ю. П. Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.
  6. [2].
  7. См. также Weisstein, Eric W. Cubic Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld., [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].
  8. См. [12] и [13].
  9. См. его работы [14].

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированых точек) на языках Flash [15] и Java [16].