Поверхность второго порядка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поверхность второго порядкагеометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида


a_{11}x^2 + a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{23}, a_{13} отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка[править | править вики-текст]

Цилиндрические поверхности[править | править вики-текст]

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей \vec{l}, если для любой точки M_0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей \vec{l}, целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y)=0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y)=0 в плоскости z=0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\! y^2=2px\! \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=1
Cil.png Par.png Hip el.png
Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\! y^2=0\! \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=0

Конические поверхности[править | править вики-текст]

Коническая поверхность.

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M_0 этой поверхности прямая, проходящая через M_0 и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если \forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,z выполняется следующее: F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z)\!

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

  • Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\!

Поверхности вращения[править | править вики-текст]

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M_0(x_0,y_0,z_0) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z_0 с центром в (0,0,z_0) и радиусом r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x^2+y^2,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид: Однополостной гиперболоид: Двуполостной гиперболоид: Эллиптический параболоид:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\! \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\! \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\! \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z\!
Gnuplot ellipsoid.svg Hib com.png Hib sim.png El Par.png

В случае, если a=b\neq 0, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид[править | править вики-текст]

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = z.

Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой p = \frac{a^2}{2}=\frac{b^2}{2}, вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z_0>0 является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x_0 или y=y_0 является параболой.

Гиперболический параболоид[править | править вики-текст]

Гиперболический параболоид.

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz.\!

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью z=z_0 является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью x=x_0 или y=y_0 является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности[править | править вики-текст]

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты \left(x_0,\;y_0\;z_0\right) можно найти, решив систему уравнений:

\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13}z_0 + a_{14} = 0 \\ a_{21}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23}z_0 + a_{24} = 0 \\ a_{31}x_0 + a_{32}y_0 + a_{33}z_0 + a_{34} = 0 \end{cases}

Матричный вид уравнения поверхности второго порядка[править | править вики-текст]

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:


\begin{pmatrix}
 x & y & z & 1
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
 a_{11}  & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
 a_{21}  & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
 a_{31}  & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
 a_{41}  & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x \\ y \\ z \\ 1
\end{pmatrix}
= 0

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:


\begin{pmatrix}
 x & y & z
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
 a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
 a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
+ 2
\begin{pmatrix}
 a_{14} & a_{24} & a_{34}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
+ a_{44} = 0

Если обозначить 
A =
\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
 a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
 a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\quad
b =
\begin{pmatrix}
 a_{14} & a_{24} & a_{34}
\end{pmatrix}
\quad
X =
\begin{pmatrix}
 x & y & z
\end{pmatrix}^T
, то уравнение приобретает следующий вид:

X^T A X + 2 b X + a_{44} = 0

Инварианты[править | править вики-текст]

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

  • Связанных с матрицей A:
    • 
I_1 = tr A
    • 
I_2 = {M_A}_{1,2}^{1,2} + {M_A}_{1,3}^{1,3} + {M_A}_{2,3}^{2,3}
, где {M_A}_{i,j}^{i,j} - минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
    • 
I_3 = \det A

При параллельном переносе системы координат величины I_1, I_2, I_3, K_4 остаются неизменными.[источник не указан 404 дня] При этом:

  • K_3 остается неизменной только если I_2=I_3=K_4=0
  • K_2 остается неизменной только если I_2=I_3=K_4=K_3=0

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]