Поверхность второго порядка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 23 y z + 2 a 13 x z + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44 = 0

в котором по крайней мере один из коэффициентов $a 11$ , $a 22$ , $a 33$ , $a 12$ , $a 23$ , $a 13$ отличен от нуля.

[править] Типы поверхностей второго порядка

[править] Цилиндрические поверхности

Поверхность $S$ называется цилиндрической поверхностью с образующей $\vec{l}$ , если для любой точки $M 0$ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей $\vec{l}$ , целиком принадлежит поверхности $S$ .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ имеет уравнение $f (x, y) = 0$ , то $S$ — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси $O Z$ .

Кривая, задаваемая уравнением $f (x, y) = 0$ в плоскости $z = 0$ , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\!$	$y^2=2px\!$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=1$

Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\!$	$y^2=0\!$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=0$

[править] Конические поверхности

Коническая поверхность.

Поверхность $S$ называется конической поверхностью с вершиной в точке $O$ , если для любой точки $M 0$ этой поверхности прямая, проходящая через $M 0$ и $O$ , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция $F (x, y, z)$ называется однородной порядка $m$ , если $\forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,z$ выполняется следующее: $F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z)\!$

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ задана уравнением $F (x, y, z) = 0$ , где $F (x, y, z)$ — однородная функция, то $S$ — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность $S$ задана функцией $F (x, y, z)$ , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то $S$ называется конической поверхностью второго порядка.

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\!$

[править] Поверхности вращения

Поверхность $S$ называется поверхностью вращения вокруг оси $O Z$ , если для любой точки $M 0 (x 0, y 0, z 0)$ этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости $z = z 0$ с центром в $(0,0, z 0)$ и радиусом $r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ задана уравнением $F (x 2 + y 2, z) = 0$ , то $S$ — поверхность вращения вокруг оси $O Z$ .

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\!$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\!$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\!$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz\!$