Эрмитова форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эрмитова форма — определённая на векторном пространстве L над полем \mathbb{C} комплексных чисел функция двух аргументов \langle\cdot,\cdot\rangle, принимающая значения из пространства L и обладающая следующими свойствами:

  1. (\forall x, y, z \in L)\;(\forall \alpha, \beta \in \mathbb{C})\quad \langle\alpha x + \beta y,z\rangle = \alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle (линейность по первому аргументу);
  2. (\forall x, y \in L) \quad \langle x, y\rangle = \overline{\langle y, x\rangle} (эрмитова симметричность).

Из свойства эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величин \langle x, x\rangle. В случае дополнительного выполнения условия

(\forall x \in L \setminus \{0\})\quad \langle x, x\rangle > 0

форма называется положительно определённой.