B-дерево

B-дерево
Тип	Дерево
Изобретено в	1972 году
Изобретено	Rudolf Bayer, Edward M. McCreight
Временная сложность в О-символике
	В среднем	В худшем случае
Расход памяти	O(n)	O(n)
Поиск	O(log n)	O(log n)
Вставка	O(log n)	O(log n)
Удаление	O(log n)	O(log n)

Пример B-дерева степени 2

B-дерево (по-русски произносится как Б-дерево) — структура данных, дерево поиска. С точки зрения внешнего логического представления, сбалансированное, сильно ветвистое дерево во внешней памяти.

Использование B-деревьев впервые было предложено Р. Бэйером (англ. R. Bayer) и Е. МакКрейтом (англ. E. McCreight) в 1970 году.

Сбалансированность означает, что длина любых двух путей от корня до листов различается не более, чем на единицу.

Ветвистость дерева — это свойство каждого узла дерева ссылаться на некоторое число узлов-потомков.

С точки зрения физической организации B-дерево представляется как мультисписочная структура страниц внешней памяти, то есть каждому узлу дерева соответствует блок внешней памяти (страница). Внутренние и листовые страницы обычно имеют разную структуру.

Применение

Структура B-дерева применяется для организации индексов во многих современных СУБД.

B-дерево может применяться для структурирования (индексирования) информации на жёстком диске (как правило, метаданных). Время доступа к произвольному блоку на жёстком диске очень велико (порядка миллисекунд), поскольку оно определяется скоростью вращения диска и перемещения головок. Поэтому важно уменьшить количество узлов, просматриваемых при каждой операции. Использование поиска по списку каждый раз для нахождения случайного блока могло бы привести к чрезмерному количеству обращений к диску, вследствие необходимости осуществления последовательного прохода по всем его элементам, предшествующим заданному; тогда как поиск в B-дереве, благодаря свойствам сбалансированности и высокой ветвистости, позволяет значительно сократить количество таких операций.

Относительно простая реализация алгоритмов и существование готовых библиотек (в том числе для C) для работы со структурой B-дерева обеспечивают популярность применения такой организации памяти в самых разнообразных программах, работающих с большими объёмами данных.

Структура и принципы построения

B-деревом называется дерево, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. Каждый узел содержит хотя бы один ключ. Ключи в каждом узле упорядочены. Корень содержит от $1$ до $2t-1$ ключей. Любой другой узел содержит от $t-1$ до $2t-1$ ключей. Листья не являются исключением из этого правила. Здесь $t$ - параметр дерева, не меньший $2$ (и обычно принимающий значения от 50 до 2000).
2. Любой узел кроме листа, содержащий ключи $K_1$, ..., $K_n$, содержит $n+1$ потомков. При этом
   1. Первый потомок и все его потомки содержат ключи из интервала $(-\infty, K_1)$
   2. Для $2\le i\le n$, i-й потомок и все его потомки содержат ключи из интервала $(K_{i-1}, K_i)$
   3. $(n+1)$-й потомок и все его потомки содержат ключи из интервала $(K_n, \infty)$
3. Глубина всех листьев одинакова.

Свойство 2 можно сформулировать иначе: каждый узел B-дерева, кроме листьев, можно рассматривать как упорядоченный список, в котором чередуются ключи и указатели на потомков.

Поиск

Если ключ содержится в корне, он найден. Иначе определяем интервал и идём к соответствующему потомку. Повторяем, пока не дошли до листа.

Добавление ключа

Будем называть деревом потомков некоего узла поддерево, состоящее из этого узла и его потомков.

Вначале определим функцию, которая добавляет ключ K к дереву потомков узла x. После выполнения функции во всех пройденных узлах, кроме, может быть, самого узла x, будет меньше $2t-1$, но не меньше $t-1$, ключей.

1. Если х - не лист,
   1. Определяем интервал, где должен находиться K. Пусть y - соответствующий потомок.
   2. Рекурсивно добавляем K к дереву потомков y.
   3. Если узел y полон, то есть содержит $2t-1$ ключей, расщепляем его на два. Узел $y_1$ получает первые $t-1$ из ключей y и первые $t$ его потомков, а узел $y_2$ - последние $t-1$ из ключей y и последние $t$ его потомков. Медианный из ключей узла y попадает в узел х, а указатель на y в узле x заменяется указателями на узлы $y_1$ и $y_2$.
2. Если x - лист, просто добавляем туда ключ K.

Теперь определим добавление ключа K ко всему дереву. Буквой R обозначается корневой узел.

1. Добавим K к дереву потомков R.
2. Если R содержит теперь $2t-1$ ключей, расщепляем его на два. Узел $R_1$ получает первые $t-1$ из ключей R и первые $t$ его потомков, а узел $R_2$ - последние $t-1$ из ключей R и последние $t$ его потомков. Медианный из ключей узла R попадает вo вновь созданный узел, который становится корневым. Узлы $R_1$ и $R_2$ становятся его потомками.

Удаление ключа

Если корень одновременно является листом, то есть в дереве всего один узел, мы просто удаляем ключ из этого узла. В противном случае сначала находим узел, содержащий ключ, запоминая путь к нему. Пусть этот узел - $x$.

Если $x$ - лист, удаляем оттуда ключ. Если в узле $x$ осталось не меньше $t-1$ ключей, мы на этом останавливаемся. Иначе мы смотрим на количество ключей в следующем, а потом в предыдущем узле. Если следующий узел есть, и в нём не менее $t$ ключей, мы добавляем в $x$ ключ-разделитель между ним и следующим узлом, а на его место ставим первый ключ следующего узла, после чего останавливаемся. Если это не так, но есть предыдущий узел, и в нём не менее $t$ ключей, мы добавляем в $x$ ключ-разделитель между ним и предыдущим узлом, а на его место ставим последний ключ предыдущего узла, после чего останавливаемся. Наконец, если и с предыдущим ключом не получилось, мы объединяем узел $x$ со следующим или предыдущим узлом, и в объединённый узел перемещаем ключ, разделяющий два узла. При этом в родительском узле может остаться только $t-2$ ключей. Тогда, если это не корень, мы выполняем аналогичную процедуру с ним. Если мы в результате дошли до корня, и в нём осталось от 1 до $t-1$ ключей, делать ничего не надо, потому что корень может иметь и меньше $t-1$ ключей. Если же в корне не осталось ни одного ключа, исключаем корневой узел, а его единственный потомок делаем новым корнем дерева.

Если $x$ - не лист, а K - его $i$-й ключ, удаляем самый правый ключ из поддерева потомков $i$-го потомка $x$, или, наоборот, самый левый ключ из поддерева потомков $i+1$-го потомка $x$. После этого заменяем ключ K удалённым ключом. Удаление ключа происходит так, как описано в предыдущем абзаце.

Основные достоинства

• Во всех случаях полезное использование пространства вторичной памяти составляет свыше 50 %. С ростом степени полезного использования памяти не происходит снижения качества обслуживания.
• Произвольный доступ к записи реализуется посредством малого количества подопераций (обращения к физическим блокам).
• В среднем достаточно эффективно реализуются операции включения и удаления записей; при этом сохраняется естественный порядок ключей с целью последовательной обработки, а также соответствующий баланс дерева для обеспечения быстрой произвольной выборки.
• Неизменная упорядоченность по ключу обеспечивает возможность эффективной пакетной обработки.

Основные недостатки

Основной недостаток В-деревьев состоит в отсутствии для них эффективных средств выборки данных (т.е. метода обхода дерева), упорядоченных по отличному от выбранного ключу.

См. также

• B+-деревья
• 2-3-дерево
• R-дерево
• B*-дерево

Литература

• Ананий В. Левитин. Глава 7. Пространственно-временной компромисс: B-деревья // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Algorithms. — М.: Вильямс, 2006. — С. 331—339. — ISBN 0-201-74395-7
• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. Глава 18. B-деревья // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2006. — С. 515­—536. — ISBN 0-07-013151-1

Ссылки

• http://www.unix.org.ua/osbd/glava_39.htm
• http://algolist.manual.ru/ds/s_btr.php
• Визуализаторы В-деревьев