Куча (структура данных)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример полной бинарной кучи.

В компьютерных науках ку́ча — это специализированная структура данных типа дерево, которая удовлетворяет свойству кучи: если B является узлом-потомком узла A, то ключ(A) ≥ ключ(B). Из этого следует, что элемент с наибольшим ключом всегда является корневым узлом кучи, поэтому иногда такие кучи называют max-кучами (в качестве альтернативы, если сравнение перевернуть, то наименьший элемент будет всегда корневым узлом, такие кучи называют min-кучами). Не существует никаких ограничений относительно того, сколько узлов-потомков имеет каждый узел кучи, хотя на практике их число обычно не более двух. Куча является максимально эффективной реализацией абстрактного типа данных, который называется очередью с приоритетом. Кучи имеют решающее значение в некоторых эффективных алгоритмах на графах, таких как алгоритм Дейкстры на d-кучах и сортировка методом пирамиды.

Структуру данных куча не следует путать с понятием куча в динамическом распределении памяти. Впервые термин использовался именно для структур данных. В некоторых ранних популярных языках программирования типа ЛИСП обеспечивалось динамическое распределение памяти с использованием структуры данных «куча», которая и дала своё имя выделяемому объёму памяти.[1].

Кучи обычно реализуются в виде массивов, что исключает наличие указателей между её элементами.

Над кучами обычно проводятся следующие операции:

  • найти максимум или найти минимум: найти максимальный элемент в max-куче или минимальный элемент в min-куче, соответственно
  • удалить максимум или удалить минимум: удалить корневой узел в max- или min-куче, соответственно
  • увеличить ключ или уменьшить ключ: обновить ключ в max- или min-куче, соответственно
  • добавить: добавление нового ключа в кучу.
  • слияние: соединение двух куч с целью создания новой кучи, содержащей все элементы обеих исходных.

Варианты[править | править вики-текст]

Сравнение теоретических оценок вариантов[править | править вики-текст]

Ниже приведены оценки временно́й сложности вычислений для операций над некоторыми видами кучи.[1] Там, где значение отмечено звездочкой, оценка сделана методом амортизационного анализа (по наихудшему времени), в остальных случаях оценка является регулярным худшим случаем. O(F) даёт асимптотическую верхнюю границу, а Θ(F) является асимптотически точной оценкой (см. обозначения «O» большое и «o» малое). Имена операций выбраны для min-кучи.

Операция Двоичная Биномиальная Фибоначчиева Спаренная[2] Бродал
найти минимум Θ(1) Θ(log n) or Θ(1) Θ(1)[1] Θ(1) Θ(1)
удалить минимум Θ(log n) Θ(log n) O(log n)* O(log n)* O(log n)
добавить Θ(log n) O(log n) Θ(1) O(1)* Θ(1)
уменьшить ключ Θ(log n) Θ(log n) Θ(1)* O(log n)* Θ(1)
слияние Θ(n) O(log n)** Θ(1) O(1)* Θ(1)

(*) Амортизационное время
(**) Где n — размер наибольшей кучи

Заметим, что «очередь Бродала» представляет собой реализацию очереди с параллельным приоритетом, разработанную группой во главе с Гертом Бродалом.[3]

Применение[править | править вики-текст]

Структуры данных типа кучи имеют множество применений.

Полная и почти полная бинарная куча может быть представлена ​​очень эффективным способом с помощью индексного массива. Первый (или последний) элемент будет содержать корень. Следующие два элемента массива содержат узлы-потомки корня. Следующие четыре элемента содержат четверых потомков от двух узлов — потомков корня, и т.д. Таким образом, потомки узла уровня n будут расположены на позициях 2n и 2n+1 для массива, индексируемого с единицы, или на позициях 2n+1 и 2n+2 для массива, индексируемого с нуля. Это позволяет перемещаться вверх или вниз по дереву, выполняя простые вычисления индекса массива. Балансировка кучи делается перестановкой элементов, которые нарушают порядок. Поскольку мы можем построить кучу с помощью массива без дополнительной памяти (для узлов, например), то можно использовать пирамидальную сортировку для сортировки массива прямо на месте.

Реализации[править | править вики-текст]

  • Стандартная библиотека шаблонов языка C++ предоставляет методы управления кучей make_heap, push_heap и pop_heap (обычно реализуются бинарные кучи), которые оперируют с итераторами произвольного случайного доступа. Методы используют итераторы как ссылки на массивы и выполняют преобразование массив-куча.
  • Набор шаблонов Java платформы Java 2 (начиная с версии 1.5) предоставляет реализацию бинарной кучи в классе java.util.PriorityQueue<E>.
  • Python имеет модуль heapq, который реализует очереди с приоритетами с помощью бинарной кучи. [5]
  • Начиная с версии 5.3 PHP в стандартной библиотеке имеются методы maxheap (SplMaxHeap) и minheap (SplMinHeap).
  • В Perl имеются реализации бинарной, биномиальной и фибоначчиевой куч во всеобъемлющей сети архивов.[6]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest (1990): Introduction to algorithms. MIT Press / McGraw-Hill.
  2. Iacono, John (2000), "Improved upper bounds for pairing heaps", «Proc. 7th Scandinavian Workshop on Algorithm Theory», vol. 1851, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, сс. 63–77, DOI 10.1007/3-540-44985-X_5 
  3. «A Parallel Priority Queue with Constant Time Operations», <http://www.ceid.upatras.gr/faculty/zaro/pub/jou/J9-JPDC-pq.pdf> 
  4. Frederickson, Greg N. (1993), "An Optimal Algorithm for Selection in a Min-Heap", «Information and Computation», vol. 104, Academic Press, сс. 197–214, doi:10.1006/inco.1993.1030, <http://ftp.cs.purdue.edu/research/technical_reports/1991/TR%2091-027.pdf> 
  5. Python heapq
  6. Perl нeap