Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции $z$ в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

$d^{n}z=d(d^{n-1}z)$ .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной независимой переменной $z=f(x)$ второй и третий дифференциалы выглядят так:

$d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=dz'dx=(z''dx)dx=z''dx^{2}$,

$d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z''dx^{2})=dz''dx^{2}=(z'''dx)dx^{2}=z'''dx^{3}$.

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции $z=f(x)$, при условии, что $x$ — независимая переменная:

$d^{n}z=z^{(n)}dx^{n}$.

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что $dx$ есть произвольное и не зависящее от $x$ , которое при дифференцировании по $x$ следует рассматривать как постоянный множитель. Если $x$ не является независимой переменной, то дифференциал будет другим (см. ниже).

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция $z=f(x,y)$ имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: $d^{2}z=d(dz)$.

$d^{2}z=d\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{x}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{y}dy=$

$=\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}dy\right)dx+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy\right)dy$

$d^{2}z={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy^{2}$

$d^{2}z=\left({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy\right)^{2}z$

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции $z=f(x_{1},...,x_{r})$ выглядит следующим образом:

$d^{n}z=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{r}}}dx_{r}\right)^{n}z$

где $z=f(x_{1},x_{2},...x_{r})$, а $dx_{1},...,dx_{r}$ произвольные приращения независимых переменных $x_{1},...,x_{r}$.
Приращения $dx_{1},...,dx_{r}$ рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При $n\geqslant 2$ $n$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение $d^{n}f$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $x=\varphi (t)$.

Так, для независимой переменной $x$ второй дифференциал, как было сказано выше, имеет вид:

$d^{2}z=z''(dx)^{2}$

Если же переменная $x$ сама может зависеть от других переменных, то $d(dx)=d^{2}x\neq 0$. В этом случае формула для второго дифференциала будет иметь вид:

$d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=z''\,(dx)^{2}+z'd^{2}x$.

Аналогично, третий дифференциал примет вид:

$d^{3}z=z'''\,(dx)^{3}+3z''dx\,d^{2}x+z'd^{3}x$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При $n=2$ и $y=f(x)=x^{3}$ :

• если $x$ — независимая переменная, то $d^{2}y=d^{2}f(x)=(x^{3})''(dx)^{2}=6x(dx)^{2}$
• если $x=\varphi (t)=t^{2}$ и $dx=d\varphi (t)=\varphi '(t)dt=2tdt$
  1. $6x(dx)^{2}=6t^{2}(2tdt)^{2}=\color {BrickRed}{24t^{4}(dt)^{2}}$
  2. при этом, $y=x^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}$ и $d^{2}y=(t^{6})''(dt)^{2}=\color {BrickRed}{30t^{4}(dt)^{2}}$

С учётом зависимости $x=t^{2}$, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

• С помощью дифференциалов, функция $F$ при условии существования её $(n+1)$ первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
  • для функции с одной переменной:

    ${\mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x)}{(n+1)!}}$ , $(0<\theta <1)$;

  • для функции с несколькими переменными:

    ${\mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0},y_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x,y_{0}+\theta {\mathcal {4}}y)}{(n+1)!}}$ , $(0<\theta <1)$

• Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции $f(x_{1},...,x_{n})$ является положительно определённым (отрицательно определённым), то точка $(x_{1},...,x_{n})$ является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции $f(x_{1},...,x_{n})$ является неопределённым, то в точке $(x_{1},...,x_{n})$ нет экстремума.

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1