Уравнение Д’Аламбера

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

$y=x\varphi (y')+f(y'),$

где $\varphi$ и $f$ — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при $\varphi (y')\equiv y'$ называется уравнением Клеро.

Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

$y'=p.$

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

$y=x\varphi (p)+f(p).$

Дифференцирование по x даёт:

$p=\varphi (p)+\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}$

или

$p-\varphi (p)=\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}.$

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной $y'=p=p_{0}$, удовлетворяющей алгебраическому уравнению

$p_{0}-\varphi (p_{0})=0,$

так как для постоянного $p_{0}$

${\frac {dp}{dx}}\equiv 0.$

Если $y'=p_{0}$, то $y=p_{0}x+C_{0}$, постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

$p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),$

так как в рассматриваемом случае $p_{0}=\varphi (p_{0})$, то

$C_{0}=f(p_{0})$.

Окончательно можем написать:

$y=x\varphi (p_{0})+f(p_{0})$.

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к $p=y'$, тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

${\frac {dx}{dp}}-x{\frac {\varphi '(p)}{p-\varphi (p)}}={\frac {f'(p)}{p-\varphi (p)}}$.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

$x=w(p,C).$

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

${\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases}}$.

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

$\Phi (x,y,C)=0$.