Параметрическое представление

Пример параметрической кривой.

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Параметрическое представление функции

Предположим, что функциональная зависимость $y$ от $x$ задана не непосредственно как $y=f(x),$ а через промежуточную величину $t.$

Тогда формулы:

$x=\varphi (t);\$$y=\psi (t)$

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции $\varphi$ и $\psi$ имеют производные и для $\varphi$ существует обратная функция $\theta ,$ явное представление функции выражается через параметрическое как:

$y=\psi [\theta (x)]=f(x)$

и производная функции $y(x)$ может быть вычислена как:

$y'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\frac {\psi '(t)}{\varphi '(t)}}.$

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно или невозможно через элементарные функции.

Параметрическое представление уравнения

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны уравнением (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Параметрическое уравнение

Близкое понятие — параметрическое уравнение множества точек, когда координаты точек задаются как функции от некоторого набора свободных параметров. Если параметр один, мы получим параметрическое уравнение кривой.

$x=x(t);y=y(t)$ (кривая на плоскости),

$x=x(t);y=y(t);z=z(t)$ (кривая в 3-мерном пространстве),

Выражая координаты точек поверхности через два свободных параметра, мы получим параметрическое задание поверхности.

Примеры

Уравнение окружности имеет вид:

$x^{2}+y^{2}=r^{2}.$

Параметрическое уравнение окружности:

$x=r~\cos ~t~;$ $y=r~\sin ~t~;~~0\leq t<2\pi$

Гипербола описывается следующим уравнением:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Параметрическое уравнение правой ветви гиперболы :

$x=a~\operatorname {ch} ~t$$;~y=b~\operatorname {sh} ~t~;~~-\infty <t<+\infty$

См. также

• Параметрическое задание поверхности

Ссылки

• Параметрическое задание кривой. Лекции по математическому анализу
• Лекции по математическому анализу. доцент кафедры математического анализа Иркутского госуниверситета Романова О. А.