Параметрическое представление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример параметрической кривой.

Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

Параметрическое представление функции[править | править вики-текст]

Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы

x=\varphi(t)~;~  ~y=\psi(t)

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое как[1]:

~y=\psi(\theta(x))=f(x)

и производная функции может быть вычислена как

y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры, затруднительно.

Параметрическое представление уравнения[править | править вики-текст]

Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны отношением в виде уравнения (или системы уравнений, если переменных больше двух).

Примеры[править | править вики-текст]

Уравнение окружности имеет вид:

x^2 + y^2  =  r^2.\,

Параметрическое представление окружности:

~x = r~\cos~t~;
~y = r~\sin~t

Гипербола описывается следующим уравнением:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.

Параметрическое представление гиперболы :

~|x| = a~\operatorname{ch}~t~~;~y = b~\operatorname{sh}~t

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Г. М. Фихтенгольц. «Курс дифференциального и интегрального исчисления». Том I. Москва 1969 г. Стр 218