Регулярный язык

Регуля́рный язык (регуля́рное мно́жество) в теории формальных языков — формальный язык, который может быть выражен средствами регулярных выражений. Класс регулярных множеств удобно изучать в целом, а полученные результаты оказываются применимы для достаточно широкого спектра формальных языков.

Определение

Пусть $\Sigma$$\Sigma$ — конечный алфавит. Регулярный язык $R(\Sigma )$$R(\Sigma)$ в алфавите $\Sigma$$\Sigma$ определяется следующими рекурсивными свойствами:

№.	Свойство	Описание
1	$\varnothing \in R(\Sigma )$$\varnothing \in R(\Sigma)$	Пустое множество является регулярным языком в алфавите Σ
2	$\{\varepsilon \}\in R(\Sigma )$$\{\varepsilon\} \in R(\Sigma)$	Язык, состоящей из одной лишь пустой строки, является регулярным языком в алфавите Σ
3	$\forall a\in \Sigma :\{a\}\in R(\Sigma )$$\forall a \in \Sigma: \{a\} \in R(\Sigma)$	Язык, состоящий из одного любого символа алфавита Σ, является регулярным языком в алфавите Σ
4	$P\in R(\Sigma )\land Q\in R(\Sigma )\Rightarrow (P\cup Q)\in R(\Sigma )$$P \in R(\Sigma) \and Q \in R(\Sigma) \Rightarrow (P \cup Q) \in R(\Sigma)$	Если два каких-либо языка являются регулярными в алфавите Σ, то и их объединение тоже является регулярным языком в алфавите Σ
5	$P\in R(\Sigma )\land Q\in R(\Sigma )\Rightarrow PQ\in R(\Sigma )$$P \in R(\Sigma) \and Q \in R(\Sigma) \Rightarrow PQ \in R(\Sigma)$	Если два каких-либо языка являются регулярными в алфавите Σ, то и язык, составленный из всевозможных сцеплений пар их элементов, тоже является регулярным в алфавите Σ
6	$P\in R(\Sigma )\Rightarrow P^{*}\in R(\Sigma )$$P \in R(\Sigma) \Rightarrow P^* \in R(\Sigma)$	Если какой-либо язык является регулярным в алфавите Σ, то язык из всевозможных сцеплений его элементов тоже является регулярным в алфавите Σ

Ничто другое, кроме следующего из перечисленного, не является регулярным множеством в алфавите Σ

Распознаваемое подмножество моноида

Данное понятие можно обобщить на произвольный моноид. Подмножество L моноида M называется распознаваемым над M, если существует конечный автомат над M, который принимает L. Конечный автомат над M — это автомат, который принимает на вход элементы из M. Семейство распознаваемых подмножеств моноида M обычно обозначается $\mathrm {Rec} (M)$$\mathrm {Rec} (M)$.

Так если M — свободный моноид $\Sigma ^{*}$$\Sigma ^{*}$ над алфавитом $\Sigma$$\Sigma$, то семейство $\mathrm {Rec} \left(\Sigma ^{*}\right)$$\mathrm {Rec} \left(\Sigma ^{*}\right)$ является просто семейством регулярных языков $\mathrm {Reg} \left(\Sigma ^{*}\right)$$\mathrm {Reg} \left(\Sigma ^{*}\right)$.

См. также

• Свойство замкнутости регулярных языков