Байесовский вывод

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Байесовский выводстатистический вывод, в котором свидетельство и/или наблюдение используются, чтобы обновить или вновь вывести вероятность того, что гипотеза может быть верной; название байесовский происходит от частого использования в процессе вывода теоремы Байеса, которая была выведена из работ преподобного Томаса Байеса [1].

Свидетельство и изменение веры[править | править вики-текст]

Байесовский вывод использует аспекты научного метода, который вовлекает сбор свидетельств, предназначенных для того, чтобы поддерживать или не поддерживать данную гипотезу. Поскольку свидетельства накапливаются, степень веры в гипотезу должна измениться. С достаточным количеством свидетельств, она должна стать либо очень высокой, либо очень низкой. Таким образом, сторонники байесовского вывода говорят, что он может использоваться, чтобы провести различие между противоречивыми гипотезами: гипотезы с очень высокой поддержкой должны быть приняты как истинные, а с очень низкой поддержкой должны быть отклонены как ложные. Однако, противники говорят, что этот метод вывода может привести к отклонению благодаря исходному верованию, которого каждый придерживается до того, когда какое-либо свидетельство будет собрано (это — форма так называемого индуктивного отклонения(англ. bias)).[1]

Байесовский вывод использует числовую оценку степени веры в гипотезу до получения свидетельства, чтобы вычислить числовую оценку степени веры в гипотезу после того, как свидетельство было получено (этот процесс повторяется, когда получено дополнительное свидетельство). В индукционном процессе байесовский вывод обычно опирается на степени веры, или субъективные вероятности, и не обязательно утверждает, что обеспечен объективный метод индукции. Тем не менее, некоторые байесовские статистики полагают, что вероятности могут иметь объективное значение, и поэтому байесовский вывод может обеспечить объективный метод индукции (см. научный метод).[1]


Теорема Байеса подправляет вероятность гипотезы, данную новым свидетельством, следующим образом:

P(H|E) = \frac{P(E|H)\;P(H)}{P(E)},

где

  • H представляет конкретную гипотезу, которая может быть, а может и не быть некоторой нулевой гипотезой.
  • P(H) называется априорной вероятностью H, которая была выведена прежде, чем новое свидетельство  E стало доступным.
  • P(E|H) называется условной вероятностью наблюдения свидетельства  E , если гипотеза  H оказывается верной; её также называют функцией правдоподобия, когда она рассматривается как функция  H для фиксированного  E .
  • P(E) называется маргинальной вероятностью E: априорная вероятность наблюдения нового свидетельства E согласно всем возможным гипотезам; может быть вычислено по формуле полной вероятности:
P(E) = \sum  P(E|H_i)P(H_i)
— как сумма произведений всех вероятностей любого полного набора взаимно исключающих гипотез и соответствующих условных вероятностей.

Простые примеры байесовского вывода[править | править вики-текст]

Из какой вазы печенье?[править | править вики-текст]

Для иллюстрации предположим, что есть две полных вазы печенья. В 1-ой вазе 10 шоколадного и 30 простого печенья, в то время как во 2-ой вазе 20 каждого сорта. Наш друг Фред выбирает вазу наугад, и затем выбирает печенье наугад. Мы можем предположить, что нет никакой причины полагать, что Фред рассматривает одну вазу иначе другой, аналогично и для печенья. Печенье, оказывается, простым. Насколько вероятно, что Фред выбрал его из 1-ой вазы?

Интуитивно, кажется ясным, что ответ должен быть больше половины, так как есть больше простого печенья в 1-ой вазе. Точный ответ дается теоремой Байеса. Пусть  H_1 — выбор вазы 1, а  H_2 — выбор вазы 2. Предполагается, что вазы идентичны с точки зрения Фреда, таким образом  P (H_1) =P (H_2) , а вместе должны составить 1, таким образом обе равны 0.5.

Событие  E — наблюдение простого печенья. Из содержания ваз, мы знаем что  P (E|H_1) = 30/40 = 0.75 и  P (E|H_2) = 20/40 = 0.5 .

Формула Бейеса тогда даёт


\begin{matrix} 
P (H_1|E) &=& \frac {P (E|H_1) P (H_1)} {P (E|H_1)P (H_1) + P (E|H_2)P (H_2)} \\ \\  
&=& \frac {0.75 \times 0.5} {0.75 \times 0.5 + 0.5 \times 0.5} \\ \\   
&=& 0.6. 
\end{matrix}

До того, как мы наблюдали печенье, вероятность, которую мы назначили для Фреда, выбиравшего 1-ю вазу, была априорной вероятностью  P (H_1) , равной 0.5. После наблюдения печенья, мы должны пересмотреть вероятность  P (H_1|E) , которая теперь равна 0.6.[1]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]