Безусловная сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе, ряд в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки ряд является сходящимся.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если ряд является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент такой, что для произвольной перестановки
  • Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rn, тогда вследствие теоремы Римана, ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
  • Если последовательность элементов гильбертового пространства H, то из безусловной сходимости ряда следует

Эквивалентные определения[править | править вики-текст]

Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:

  • для произвольной последовательности , где , ряд является сходящимся.
  • для произвольной последовательности , такой, что , ряд является сходящимся.
  • для произвольной последовательности , ряд является сходящимся.
  • для произвольного существует конечное подмножество такое, что для произвольного конечного подмножества

Пример[править | править вики-текст]

Пусть дано пространство где  — банахово пространство числовых последовательностей с нормой . Рассмотрим в нём последовательность где ненулевое значение стоит на n-м месте. Тогда ряд является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]