Вариация Харди

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть имеется функция , заданная на -мерном параллелепипеде

Зададимся произвольным разбиением параллелепипеда гиперплоскостями

на -мерные параллелепипеды.

Рассмотрим класс всех функций, для которых

где

Пусть, теперь,  — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам , и  — целочисленный вектор размерности такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел , которые не содержатся среди чисел . Тогда каждую точку можно записать в виде . Если координаты точки фиксированы на значениях , то будем писать .

Вариация Xарди функции на :

Если , то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде , а класс всех таких функций обозначается .

История[править | править вики-текст]

Первоначально класс при был введён Г. Харди[1] (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье[2]. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции класса (), имеющей период по каждой переменной, сходятся в каждой точке к числу

где

Для того чтобы функция входила в класс , необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде , где и такие конечные на функции, что , при всех и допустимых приращениях . Класс содержится в классе функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на .

Литература[править | править вики-текст]

  • Буланов А. П. Рациональные приближения функций многих переменных с конечной вариацией Харди // Математический сборник. — 1995. — т. 186. — № 11. — с. 53—74.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hardy G. Н. The Quarterly Journal of Mathematics. — 1905. — v. 37. — № 1. — p. 57—79.
  2. Hahn, H. Theorie der reellen Funktionen. — Bd 1. — В.: Springer, 1921.