Вариация функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в этой функцией.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть . Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции на отрезке называется следующая величина:

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям отрезка длин ломаных в , концы которых соответствуют значениям в точках разбиения.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается или просто .
    • В таком случае определена функция , называющаяся функцией полной вариации для .
  • Положительная вариация вещественнозначной функции на отрезке называется следующая величина:
  • Аналогично определяется отрицательная вариация функции:
  • Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы

Свойства функций ограниченной вариации[править | править вики-текст]

  • Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу ), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке .
  • Если , а , то .
  • Если функция непрерывна в точке справа и принадлежит , то .
  • Функция , заданная на отрезке , является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на функции (разложение Жордана).
  • Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.
  • Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Все эти свойства были установлены Жорданом[1][2].

Вычисление вариации[править | править вики-текст]

Вариация непрерывно дифференцируемой функции[править | править вики-текст]

Если функция принадлежит классу , то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке , то  — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

то есть равна интегралу нормы производной.

История[править | править вики-текст]

Функции ограниченной вариации изучались К. Жорданом[1].

Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье -периодичических функций класса сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Длина кривой определяется как естественное обобщение вариации на случай отображений в метрическое пространство.

В случае нескольких переменных существует несколько различных определений вариации функции:

Φ-вариация функции[править | править вики-текст]

Рассматривается также класс , который определяется следующим образом:

где () — положительная при монотонно возрастающая непрерывная функция;

 — произвольное разбиение отрезка .

Величина называется -вариацией функции на отрезке .

Если , то функция обладает ограниченной -вариацией на отрезке . Класс всех таких функций обозначается через или просто как [3]. Определение класса предложено Л. Янгом (англ.)[4] (L. С. Young).

Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом . Если при , то получаются классы Н. Винера[5] (N. Wiener).

Свойства[править | править вики-текст]

Если рассмотреть две функции и такие, что

то для их -вариаций справедливо отношение:

В частности,

при .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций / Пер. с франц. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 324 с.
  • Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
  • Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 936 с.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.
  2. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — С. 234—238. — 484 с.
  3. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 287. — 936 с.
  4. Young L. С. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1937. — t. 204. — № 7. — p. 470—472.
  5. Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. — 1924. — v. 3. — p. 72—94.