Вариация поворота кривой

Кривая с вариацией поворота $6\cdot \pi$

Вариация поворота кривой — интеграл кривизны кривой по её длине.

Определение

Вариация поворота кривой $\gamma$ на плоскости или в пространстве определяется как точная верхняя грань суммы внешних углов вписанной в $\gamma$ ломаной.

В случае если кривая $\gamma$ замкнута, вписанная ломаная также предполагается замкнутой.

Замечания

• Если $\gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d}$ гладкая кривая, параметризованная длиной, $\kappa (s)$ — её кривизна, то вариация поворота равна интегралу модуля кривизны:

  $\int \limits _{a}^{b}|\kappa (s)|\cdot ds.$

• Вариация поворота гладкой регулярной кривой $\gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d}$ можно также определить как длину её касательной индикатрисы; то есть кривой $\tau (s)\colon [a;\,b]\to \mathbb {S} ^{d-1}$ образованной единичными касательными векторами $\tau (s)={\tfrac {{\dot {\gamma }}(s)}{|{\dot {\gamma }}(s)|}}$.

Свойства

• Теорема Фенхеля о повороте кривой: Вариация поворота любой замкнутой кривой не менее $2{\cdot }\pi$. Более того, в случае равенства кривая является плоской и выпуклой.
• Теорема Фари — Милнора о повороте узла: Вариация поворота любого узла больше $4{\cdot }\pi$.
• Неравенство ДНК. Если замкнутая плоская кривая лежит в выпуклой фигуре с периметром $2{\cdot }\pi$ то её длина не превосходит её вариацию поворота.
• Теорема Усова о геодезической: Вариация поворота геодезической на графике выпуклой функции $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ не превосходит её удвоенной константы Липшица.
• Угловая длина замкнутой кривой относительно произвольной точки не превосходит её вариации поворота.
• Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.

Вариации и обобщения

• Для плоских кривых, у кривизны можно определить знак и определить поворот кривой как интеграл кривизны с знаком. Теорема о повороте кривой является дифференциальногеометрическим аналогом теоремы о сумме углов многоугольника.

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.