Выпуклая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зелёным.

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

Определение[править | править вики-текст]

Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), выпукла, если для любых двух значений аргумента , и для любого числа выполняется неравенство Йенсена:

Если это неравенство является строгим для всех и , то функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

NB! Некоторыми авторами выпуклая функция определяется как вогнутая, и наоборот[1].

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функция , выпуклая на интервале , непрерывна на всём , дифференцируема на всём за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.
  • Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет субдифференциал) на всей области определения.
  • У выпуклой функции через любую точку проходит опорная гиперплоскость её надграфика.
  • Непрерывная функция выпукла на тогда и только тогда, когда для всех точек выполняется неравенство
  • Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной (опорной гиперплоскости), проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
  • Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке правой производной; производная выпуклой функции — неубывающая функция.
  • Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция строго выпукла на , но её вторая производная в точке равна нулю).
  • Если функции , выпуклы, то любая их линейная комбинация с положительными коэффициентами , также выпукла.
  • Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
  • Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.
  • Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:

где  — случайная величина со значениями в области определения функции ,  — математическое ожидание.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов / под ред. И. В. Мартынова. — Учебное издание. — М.: ИНФРА-М, 2006. — С. 229. — 448 с. — ISBN 5-16-002752-1.