Вариация функционала

Вариация функционала, или первая вариация функционала, — обобщение понятия дифференциала функции одной переменной, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в этот термин, начиная с работы 1762 года Ж. Лагранжа. Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления (действие) вида:

$J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))\,dt.\qquad (*)$

Формальное определение

Рассмотрим изменение функционала (*) от одной точки функционального пространства к другой (от одной функции к другой). Для этого сделаем замену $x(t)\mapsto x_{1}(t)-x(t)$ и подставим в выражение (*). При допущении о непрерывной дифференцируемости $L$ имеет место равенство, аналогичное выражению для дифференциала функции:

$J(x_{1})=J(x)+J_{1}(\delta x)+\varepsilon r(x,\;x_{1}),$

где остаточный член $|r(x,\;x_{1})|\to 0$ — расстояние между функциями и $\varepsilon \to 0$, а $\delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)$. При этом линейный функционал $J_{1}(\delta x)$ называется (первой) вариацией функционала $J(x)$ и обозначают через $\delta J$.

Применительно к функционалу (*) для первой вариации имеет место равенство с точностью до величины порядка высшего, чем $|r(\delta x)|$:

$\delta J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))\,\delta x+p(t)\,\delta {\dot {x}})\,dt=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))-{\dot {p}}(t))\,\delta x\,dt+p(t)\,\delta x)|_{t_{0}}^{t_{1}},$

где

$p(t)=L_{\dot {x}}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))$

- обобщённый импульс.

При этом $p(t)\,\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}=0$, поскольку $\delta x(t_{0})=\delta x(t_{1})=0.$

Равенство нулю первой вариации для всех $\delta x$ является необходимым условием экстремума функционала $J(x)$. Для функционала (*) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления следует уравнение Эйлера:

${\dot {p}}(t)=L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t)).$

Аналогичным образом определяются вариации более высоких порядков.

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано французским математиком Рене Гато в 1913 году. По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа.

Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по $\delta x$) выражения $\delta J(x,\;\delta x)$ обычно называется производной Гато. В современной математике термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем вариация функционала. При этом термин «вариация функционала» сохраняется лишь для функционалов классического вариационного исчисления.

Литература

• Лаврентьев, M. А., Люстерник, Л. А. Курс вариационного исчисления. — в 2-х тт. — 2-е изд. — М.—Л.: ОНТИ, 1953.