Векторная решётка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ве́кторная решётка (-линеал, пространство Риса, в ранних русскоязычных источниках — также линейная структура) — вещественное или комплексное векторное пространство, наделённое структурой алгебраической решётки. Впервые рассмотрена Рисом в 1928 году, с использованием конструкций на её основе получены важные результаты в функциональном анализе.

Векторную решётку можно определить аксиоматически на векторном пространстве с произвольным выделенным подклассом элементов , называемых положительными элементами (), посредством введения отношения частичного порядка следующим образом: (в этом случае ), если при этом выполнены следующие условия:

  • если , то ,
  • если и , то
  • для любых двух элементов существует их супремум ,
  • если и для элемента числового поля выполнено , то [1].

Всякая векторная решётка дистрибутивна[2].

Важное свойство в векторных решётках — представимость любого элемента в виде разности двух положительных элементов , где называется положительной частью элемента , а  — его отрицательной частью. В этих терминах вводится также понятие модуля элемента следующим образом: , причём всегда выполнено . Для ограниченности множества в векторной решётке необходима и достаточна ограниченность множества модулей его элементов [3].

Особый интерес в функциональном анализе представляют векторные решётки с дополнительной пространственной структурой, такие как банаховы решётки[4].

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]