Ограниченное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Ограниченное числовое множество[править | править вики-текст]

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число , такое что все элементы не превосходят :

Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число , такое что все элементы не меньше :

Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок ,

неограниченного — множество всех целых чисел ,
ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч ,
ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч .

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Ограниченное множество в метрическом пространстве[править | править вики-текст]

Пусть  — метрическое пространство. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре :

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

В отличие от числовой прямой, в произвольном метрическом пространстве нельзя ввести понятия ограниченного сверху и ограниченного снизу множеств.

Помимо понятия ограниченного множества для произвольного метрического пространства существует более специальное понятие вполне ограниченного множества. В случае числовых множеств это понятие совпадает с понятием ограниченного множества.

Ограниченность в частично упорядоченном множестве[править | править вики-текст]

Понятия ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества можно ввести в произвольном частично упорядоченном множестве. Эти определения буквально повторяют соответствующие определения для числовых множеств.

Пусть  — частично упорядоченное множество, . Множество называется ограниченным сверху, если

ограниченным снизу, если

Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

См. также[править | править вики-текст]