Отношение порядка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бинарное отношение на множестве называется отношением нестрогого частичного порядка (отношением порядка, отношением рефлексивного порядка), если имеют место

Множество , на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным. Отношение нестрогого частичного порядка часто обозначают знаком .

Варианты[править | править вики-текст]

Отношение частичного порядка называется линейным порядком, если выполнено условие

.

Множество , на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным, или цепью.

Отношение , удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется квазипорядком, или предпорядком.

Строгий порядок[править | править вики-текст]

Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности:

,

то получим определение строгого, или антирефлексивного частичного порядка (обозначается обычно символом ).

Замечание. Одновременная антирефлексивность и антисимметричность отношения эквивалентна асимметричности:

.

При этом из асимметричности автоматически вытекает антисимметричность. Таким образом, антисимметричность есть следствие антирефлексивности и транзитивности. Поэтому отношение является отношением строгого порядка тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и транзитивно.

В общем случае, если  — транзитивное, антисимметричное отношение, то

 — рефлексивный порядок
 — антирефлексивный порядок.

Примеры[править | править вики-текст]

  • На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого.
  • Отношение делимости на множестве целых чисел являются отношением нестрогого порядка.

Размерность Душника — Миллера[править | править вики-текст]

Размерность Душника — Миллера (англ.) (иногда называемая просто размерность) частичного порядка — это наименьшее количество отношений линейного порядка, пересечение которых равно данному частичному порядку. Задача распознавания того, превосходит ли размерность данного конечного частичного порядка число принадлежит к классу P при но является NP-полной при [1]

История[править | править вики-текст]

Знаки и изобретены Хэрриотом.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Yannakakis, Mihalis (1982), «The complexity of the partial order dimension problem», SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods 3 (3): 351—358