Геометрия Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Геометрия Римана (Эллиптическая геометрия) — одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной, т. е. на сферах. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.).

В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула где — сумма углов треугольника, — радиус сферы, на которой реализована геометрия.

Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость. Именно, рассмотрим сферу с центром в точке в трёхмерном пространстве . Каждая точка вместе с центром сферы определяет некоторую прямую , т. е. некоторую точку проективной плоскости . Сопоставление определяет отображение , большие круги на (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости , при этом в одну точку переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой и диаметрально противоположная ей точка (см. рисунок). Евклидовы движения пространства , переводящие сферу в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости , которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.

Геометрия Римана не является абсолютной геометрией. В частности, в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B», которое используется в аксиоматике абсолютной геометрии. Действительно, на прямую проективной плоскости отображается большой круг на сфере , причём две диаметрально противоположные точки сферы и переходят в одну точку . Аналогично, точки переходят в одну точку и точки переходят в одну точку . Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка лежит между и и что она не лежит между ними (см. рисунок).

Литература[править | править вики-текст]

  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
  • Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
  • Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
  • Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
  • Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
  • Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.