Гипотеза Холла

Гипотеза Холла — нерешённая на 2015 г. теоретико-числовая гипотеза об оценке сверху для решений диофантова уравнения Морделла $y^{2}=x^{3}+k$ при заданном $k\neq 0$. Имеет несколько формулировок разной силы. Была сформулирована Холлом в 1971 г.

Формулировка и уточнения

Первоначальная формулировка такова:

Существует константа $C>0$, такая что если $y^{2}=x^{3}+k$ для $x,y,k\in \mathbb {Z}$ и $k\neq 0$, то $|x|\leqslant C|k|^{2}$.

Из конкретных решений разных уравнений для разных $k$ можно получать оценки снизу для $C$. Наиболее сильный пример был найден Элкисом в 1998:

$447884928428402042307918^{2}-5853886516781223^{3}=-1641843$

Из него следует оценка $C>2171$. Это делает гипотезу неправдоподобной в такой формулировке, хотя эта формулировка и не опровергнута.

Старк и Троттер в 1980 предположили ослабленный вариант гипотезы Холла:

Для любого $\epsilon >0$ существует константа $C(\epsilon )>0$, такая что если $y^{2}=x^{3}+k$ для $x,y,k\in \mathbb {Z}$ и $k\neq 0$, то $|x|\leqslant C(\epsilon )|k|^{2+\epsilon }$.

Ввиду неправдоподобности первоначального варианта гипотеза Холла теперь гипотезой Холла называется её ослабленный вариант с $\epsilon$.

Доказано, что показатель 2 в оценке нельзя уменьшить — гипотеза становится неверной для оценки вида $|x|\leqslant C|k|^{2-\epsilon }$ (Данилов, 1982).

Теорема Дэвенпорта — Аналог гипотезы Холла для многочленов

В 1965 Дэвенпорт доказал аналог гипотезы Холла для многочленов:

Если $g(t)^{2}=f(t)^{3}+k(t)$, где $k(t)\neq \mathrm {const} ,f(t),g(t)\neq 0$, то $\deg f(t)\leqslant 2(\deg k(t)-1)$.

Эта теорема сразу следует из теоремы Мейсона — Стотерса, аналога ABC-гипотезы для многочленов: Пусть $a(t),b(t),c(t)$ — попарно взаимно простые неконстантные многочлены, такие, что $a+b=c$, тогда

$\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.$

Здесь $\mathrm {rad} (f)$ — радикал многочлена, то есть произведение его различных простых множителей.

Подстановка $c=g^{2}$, $a=f^{3}$, $b=k$ даёт 2 неравенства:

$3\deg f,2\deg g\leqslant \deg f+\deg g+\deg k-1$,

из которых и получается теорема.

Связь с ABC-гипотезой

Гипотеза Холла следует из ABC-гипотезы. Из ABC-гипотезы сразу следует даже более сильная, т. н. радикальная гипотеза Холла:

Для любого $\epsilon >0$ существует константа $C(\epsilon )>0$, такая что если $y^{2}=x^{3}+k$ для $x,y,k\in \mathbb {Z}$ и $k\neq 0$, ${\text{НОД}}(x,y)=1$ то $|x|\leqslant C(\epsilon )\mathrm {rad} (k)^{2+\epsilon }$.

Здесь $\mathrm {rad} (k)$ — радикал целого числа $k$.

Оказывается, из радикальной гипотезы Холла также следует ABC-гипотеза. Однако это утверждение нетривиально.

Обобщение гипотезы Холла на другие степени — это гипотеза Пиллаи.

Литература

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory (неопр.). — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — С. D9. — ISBN 978-0-387-20860-2.
• Hall, Jr., Marshall. The Diophantine equation x³ - y² = k // Computers in Number Theory (неопр.) / Atkin, A.O.L.; Birch, B. J.. — 1971. — С. 173—198. — ISBN 0-12-065750-3.

Ссылки

• A page on the problem Архивная копия от 22 февраля 2018 на Wayback Machine by Noam Elkies
• Table of good examples of Marshall Hall’s conjecture by Ismael Jimenez Calvo.