Гипотеза Холла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Холла — нерешённая на 2015 г. теоретико-числовая гипотеза об оценке сверху для решений диофантова уравнения Морделла при заданном . Имеет несколько формулировок разной силы. Была сформулирована Холлом в 1971 г.

Формулировка и уточнения

[править | править код]

Первоначальная формулировка такова:

Существует константа , такая что если для и , то .

Из конкретных решений разных уравнений для разных можно получать оценки снизу для . Наиболее сильный пример был найден Элкисом в 1998:

Из него следует оценка . Это делает гипотезу неправдоподобной в такой формулировке, хотя эта формулировка и не опровергнута.

Старк и Троттер в 1980 предположили ослабленный вариант гипотезы Холла:

Для любого существует константа , такая что если для и , то .

Ввиду неправдоподобности первоначального варианта гипотеза Холла теперь гипотезой Холла называется её ослабленный вариант с .

Доказано, что показатель 2 в оценке нельзя уменьшить — гипотеза становится неверной для оценки вида (Данилов, 1982).

Теорема Дэвенпорта — Аналог гипотезы Холла для многочленов

[править | править код]

В 1965 Дэвенпорт доказал аналог гипотезы Холла для многочленов:

Если , где , то .

Эта теорема сразу следует из теоремы Мейсона — Стотерса[англ.], аналога ABC-гипотезы для многочленов: Пусть  — попарно взаимно простые неконстантные многочлены, такие, что , тогда

Здесь  — радикал многочлена, то есть произведение его различных простых множителей.

Подстановка , , даёт 2 неравенства:

,

из которых и получается теорема.

Связь с ABC-гипотезой

[править | править код]

Гипотеза Холла следует из ABC-гипотезы. Из ABC-гипотезы сразу следует даже более сильная, т. н. радикальная гипотеза Холла:

Для любого существует константа , такая что если для и , то .

Здесь  — радикал целого числа .

Оказывается, из радикальной гипотезы Холла также следует ABC-гипотеза. Однако это утверждение нетривиально.[1] [2]

Обобщение гипотезы Холла на другие степени — это гипотеза Пиллаи.

Примечания

[править | править код]
  1. Schmidt, Wolfgang M. Diophantine approximations and Diophantine equations (неопр.). — 2nd. — Springer-Verlag, 1996. — Т. 1467. — С. 205—206. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-54058-X.
  2. Bombieri, Gubler. Heights in diophantine geometry (неопр.). — Cambridge University Press, 2006. — Т. 652. — С. 424—435. — ISBN 0-511-14061-4.

Литература

[править | править код]