abc-гипотеза

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].

Решение гипотезы составляет одну из главных проблем теории чисел.

Формулировка[править | править вики-текст]

При данном существует постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел , и , таких, что , выполняется неравенство:

,

где радикал целого числа.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа , и . Тогда неравенство сводится к следующему:
  • Условие необходимо. Для любого существует тройка взаимно простых чисел таких, что . Например тройка вида , где .

Доказательство гипотезы Била[править | править вики-текст]

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших , а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.[3]


Доказательство гипотезы Пиллаи[править | править вики-текст]

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Попытки доказательства[править | править вики-текст]

Французский математик Люсьен Спиро предложил доказательство в 2007 году, но оно оказалось некорректным[4].

В августе 2012 года японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать эту гипотезу[5][6]. В октябре того же года Веселин Димитров и Акшай Венкатеш обнаружили ошибку в доказательстве, Мотидзуки признал этот факт, но заявил, что данная ошибка не влияет на основные результаты, а также обещал в ближайшее время опубликовать исправленную версию[7]. Он разместил серию исправленных документов, последний из которых был датирован декабрём 2013 года[6]. Мотидзуки отказался от всех предложений дать интервью, но опубликовал в декабре 2013 года отчёт о ходе работы[8][9].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. D. W. Masser Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Vol. 25.
  2. J. Oesterlé Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Vol. 694. — P. 165–186. — ISSN 0303-1179.
  3. R. Daniel Mauldin A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436-1437.
  4. «Finiteness Theorems for Dynamical Systems», Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld’s 60th Birthday), Columbia University, May 2007. См. Woit, Peter (May 26, 2007), Proof of the abc Conjecture?, <http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=561> .
  5. Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы, Lenta.ru (11 сентября 2012). Проверено 11 сентября 2012.
  6. 1 2 Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, available at http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
  7. Kevin Hartnett. An ABC proof too tough even for mathematicians (3 November 2012).
  8. IUTeich Verification Report 2013-12.pdf
  9. «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. // Lenta.ru, 2015-10-08

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]