Принцип детального равновесия

Принцип детального равновесия — общее положение статистики, справедливое для многих случайных (марковских) процессов и физических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Его суть заключается в равенстве вероятностей прямого $(n\rightarrow m)$ и обратного $(m\rightarrow n)$ переходов между дискретными состояниями системы $m$ и $n$.

Марковская цепь, для которой выполняется принцип детального равновесия, называется обратимой.

Принцип детального равновесия, в частности, справедлив в приложении к статистической физике и квантовой механике, поскольку он является следствием основных принципов квантовой механики, например, симметрии квантовых уравнений движения относительно обращения времени.

В общем случае, принцип детального равновесия можно сформулировать как равенство вероятностей перехода, отнесённых к конечному состоянию:

${\frac {w_{mn}}{P_{m}}}={\frac {w_{nm}}{P_{n}}}$,

где

• $P_{m}=\rho _{mm}$ и $P_{n}=\rho _{nn}$ — вероятности того, что система находится в состояниях $m$ и $n$, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности $\rho$;
• $w_{mn}=\mathrm {prob} (n\rightarrow m)$ — вероятность прямого перехода системы из состояния $n$ в состояние $m$;
• $w_{nm}=\mathrm {prob} (m\rightarrow n)$ — вероятность обратного перехода системы из состояния $m$ в состояние $n$.

В отличие от обычного стационарного состояния, для которого достаточно выполнения условия:

${\frac {dP_{n}}{dt}}=\sum _{m\neq n}\left(w_{nm}\cdot P_{m}-w_{mn}\cdot P_{n}\right)=0$,

детальное равновесие требует равенства нулю каждого из членов суммы, то есть:

$w_{nm}\cdot P_{m}=w_{mn}\cdot P_{n}$.

История

Принцип детального равновесия для сталкивающихся молекул был сформулирован Людвигом Больцманом, который использовал его для доказательства H-теоремы.

В 1901 году Рудольф Вегшейдер вывел принцип детального равновесия применительно к химической кинетике.

Частные формулировки

В квантовой механике математическим выражением принципа детального равновесия является равенство матричных элементов перехода для прямого и обратного процессов $|T_{ab}|^{2}=|T_{ba}|^{2}$

Для замкнутых изолированных систем принцип детального равновесия сводится к равенству:

$w_{mn}=w_{nm}.$

Если же система не изолирована и взаимодействует с другой большой системой (термостатом), то согласно принципу детального равновесия:

${\frac {w_{mn}}{w_{nm}}}=\exp {\frac {E_{n}-E_{m}}{kT}}.$

Для газа, подчиняющегося статистике Больцмана, принцип детального равновесия принимает вид:

$ff_{1}=f^{\prime }f_{1}^{\prime },$

где

• $f=f\left({\vec {r}},{\vec {p}},t\right),~f_{1}=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}_{1},t\right)$ — функции распределения частиц с импульсами ${\vec {p}},~{\vec {p}}_{1}$ до столкновения;
• $f^{\prime }=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}^{\prime },t\right),~f_{1}^{\prime }=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}_{1}^{\prime },t\right)$ — функции распределения частиц с импульсами ${\vec {p}}^{\prime },~{\vec {p}}_{1}^{\prime }$ после столкновения;

Для квантовых газов:

$ff_{1}(1\pm f^{\prime })(1\pm f_{1}^{\prime })=f^{\prime }f_{1}^{\prime }(1\pm f)(1\pm f_{1}),$

где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.

См. также

• Основное кинетическое уравнение

Литература

• Детального равновесия принцип — статья из Физической энциклопедии
• Ken Sekimoto. Stochastic Energetics. — Springer-Verlag, 2010.
• Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1971. — 672 с.