Марковский процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ма́рковский проце́сс — случайный процесс, эволюция которого после любого заданного значения временно́го параметра не зависит от эволюции, предшествовавшей , при условии, что значение процесса в этот момент фиксировано («будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем»; другая трактовка (Вентцель): «будущее» процесса зависит от «прошлого» лишь через «настоящее»).

Процесс Маркова — модель авторегрессии первого порядка AR(1): .

Марковская цепь — частный случай марковского процесса, когда пространство его состояний дискретно (т.е. не более чем счетно)[1].

История[править | править вики-текст]

Определяющее марковский процесс свойство принято называть марковским; впервые оно было сформулировано А. А. Марковым, который в работах 1907 г. положил начало изучению последовательностей зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин. Это направление исследований известно под названием теории цепей Маркова.

Однако уже в работе Л. Башелье можно усмотреть попытку трактовать броуновское движение как марковский процесс, попытку, получившую обоснование после исследований Винера в 1923.

Основы общей теории марковских процессов с непрерывным временем были заложены Колмогоровым.

Марковское свойство[править | править вики-текст]

Общий случай[править | править вики-текст]

Пусть  — вероятностное пространство с фильтрацией по некоторому (частично упорядоченному) множеству ; и пусть  — измеримое пространство. Случайный процесс , определённый на фильтрованном вероятностном пространстве, считается удовлетворяющим марковскому свойству, если для каждого и ,

Марковский процесс — это случайный процесс, удовлетворяющий марковскому свойству с естественной фильтрацией.

Для марковских цепей с дискретным временем[править | править вики-текст]

В случае, если является дискретным множеством и , определение может быть переформулировано:

.

Пример марковского процесса[править | править вики-текст]

Рассмотрим простой пример марковского случайного процесса. По оси абсцисс случайным образом перемещается точка. В момент времени ноль точка находится в начале координат и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета — если выпал герб, то точка X перемещается на одну единицу длины вправо, если цифра — влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение, и так далее. Процесс изменения положения точки («блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем (t=0, 1, 2, …) и счетным множеством состояний. Такой случайный процесс называется марковским, так как следующее состояние точки зависит только от настоящего (текущего) состояния и не зависит от прошлых состояний (неважно, каким путём и за какое время точка попала в текущую координату).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А.В.Булинский, А.Н.Ширяев. Теория случайных процессов. Физматлит, 2005.

Ссылки[править | править вики-текст]