H-теорема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В термодинамике и кинетической теории, -теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает возрастание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.

На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В своё время этот результат вызвал бурные споры.

H-теорема[править | править вики-текст]

Величина определяется как интеграл по пространству скоростей:

где  — вероятность.

Используя уравнение Больцмана, можно показать, что не может возрастать.

Для системы из статистически независимых частиц, соотносится с термодинамической энтропией посредством:

таким образом, согласно -теореме, не может убывать.

Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.

Формулировка[править | править вики-текст]

, где , , - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана[1]

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство следует из неравенства Больцмана , где - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на и интегрируем по всем возможным скоростям . При этом используется, что , неравенство Больцмана , - инвариант столкновений, обращение в нуль при стремлении скорости к бесконечности[1].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.