Дифференциальное уравнение Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана — обобщение гипергеометрического уравнения, позволяющее получить регулярные сингулярные точки (англ.) в любой точке сферы Римана. Названо в честь математика Бернхарда Римана.

Определение[править | править вики-текст]

Дифференциальное уравнение Римана определяется как

Его регулярными сингулярными точками будут a, b и c. Их степени и , и , и соответственно. Они удовлетворяют условию

Решения уравнения[править | править вики-текст]

Решения уравнения Римана записываются через P-символ Римана

Обычная гипергеометрическая функция может быть записана как

P-функции подчиняются ряду тождеств, одно из которых позволяет обобщить их в терминах гипергеометрических функций. А именно, выражение

позволяет записать решение уравнения в виде

Преобразование Мёбиуса[править | править вики-текст]

P-функция обладает простой симметрией по отношению к преобразованию Мёбиуса, то есть по отношению к группе GL(2, C) или, что эквивалентно, конформному отображению сферы Римана. Произвольно выбранные четыре комплексных числа A, B, C и D, удовлетворяющие условию , определяют соотношения

и

Тогда будет справедливым равенство

Литература[править | править вики-текст]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972)