Конформное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конформное отображение — отображение, сохраняющее форму инфинитезимально малых фигур.

Определение[править | править вики-текст]

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
  • Две метрики на гладком многообразии называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция такая что . В этом случае тождественное отображение на индуцирует конформное отображение .

Свойства[править | править вики-текст]

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.
  • Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
  • Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
    • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
  • Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости допускает конформную биекцию на единичный диск.
  • Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
  • Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если и  — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
где и обозначают тензоры Вейля для и соответственно.
  • Для конформно-эквивалентых метрик
  • Связности связаны следующей формулой:
  • Кривизны связаны следующей формулой:
если а обозначает Гессиан функции .
  • Для ортонормированной пары векторов и Секционная кривизна в направленнии можно записать в следующем виде:
где .
  • При вычислении скалярной кривизны -мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае:

Примеры[править | править вики-текст]

Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

История[править | править вики-текст]

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Применение[править | править вики-текст]

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (нем.) // Archiv ftir Elektrotechnik. — 1923. — Bd. 12. — S. 1-15. — DOI:10.1007/BF01656573.