Длина свободного пробега

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние , которое пролетает частица за время между двумя последовательными столкновениями.[1]

Для каждой молекулы это расстояние различно, поэтому в кинетической теории газов под длиной свободного пробега обычно подразумевается[2] средняя длина свободного пробега <>, которая является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

Теория рассеяния[править | править код]

Слой мишени

Представим поток частиц, проходящих через мишень размером , и рассмотрим бесконечно тонкий слой этой мишени (см. рисунок).[3] Красным здесь обозначены атомы, с которыми частицы падающего пучка могут столкнуться. Значение длины свободного пробега будет зависеть от характеристик этой системы. Если все частицы мишени покоятся, то выражение для длины свободного пробега будет выглядеть как:

где n — количество частиц мишени в единице объёма, а σ — эффективное сечение.

Площадь такого слоя L2, объём L2dx, и тогда количество неподвижных атомов в нём n L2dx. Вероятность рассеяния этим слоем одной частицы равна отношению части площади сечения, «перекрываемой» всеми рассеивающими частицами, ко всей площади сечения:

где σ — площадь, или, более точно, сечение рассеяния одного атома.

Тогда уменьшение интенсивности потока будет равно начальной интенсивности, умноженной на вероятность рассеяния частицы внутри мишени:

Получаем дифференциальное уравнение

решение которого известно как закон закон Бугера[4] и имеет вид , где x — расстояние, пройденное пучком, I0 — интенсивность пучка до того, как он попал в мишень, а называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание, что вероятность того, что частица будет рассеяна в слое от x до x + dx, равна

И таким образом, среднее значение x будет равно

Отношение части частиц, которые не рассеялись мишенью, к количеству, падающему на её поверхность, называется коэффициентом пропускания , где x = dx — толщина мишени

Кинетическая теория[править | править код]

В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведенном выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула , вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а относительная скорость примерно равна скорости частицы.

Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

В состоянии равновесия значения скоростей и случайны и независимы, поэтому , а относительная скорость равна

Это означает, что количество столкновений равно , умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:[5]

Из закона Менделеева-Клапейрона и с учётом (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом ) можно показать, что длина свободного пробега равна[6]

где kB — постоянная Больцмана.

На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса. Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твердых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега[7]

где m — масса молекулы, а μ — вязкость. Это выражение можно удобно представить в следующем виде:

где  — универсальная газовая постоянная, а  — молекулярная масса. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.

Формула[править | править код]

, где  — эффективное сечение молекулы, равное ( — эффективный диаметр молекулы), а  — концентрация молекул.

Примеры[править | править код]

В следующей таблице приведены типичные значения длины свободного пробега молекул воздуха при комнатной температуре для различных давлений.

Диапазон давления Давление, Па Давление, мм.рт.ст. Концентрация, молекул / см3 Концентрация, молекул / м3 Длина свободного пробега
Атмосферное давление 101300 759.8 2.7 × 1019 2.7 × 1025 68[8] нм
Низкий вакуум 30000 — 100 220 — 8×10−1 1019 — 1016 1025 — 1022 0.1 — 100 мкм
Средний вакуум 100 — 10−1 8×10−1 — 8×10−4 1016 — 1013 1022 — 1019 0.1 — 100 мм
Высокий вакуум 10−1 — 10−5 8×10−4 — 8×10−8 1013 — 109 1019 — 1015 10 см- 1 км
Сверхвысокий вакуум 10−5 — 10−10 8×10−8 — 8×10−13 109 — 104 1015 — 1010 1 km — 105 km
Экстремальный вакуум <10−10 <8×10−13 <104 <1010 >105 km

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Marion Brünglinghaus. Mean free path. Euronuclear.org.
  2. Алешкевич В.А. Курс общей физики. Молекулярная физика.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — С. 281—283. — 312 с. — ISBN 978-5-9221-1696-1.
  3. Chen, Frank F. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion. — 1st. — Plenum Press, 1984. — P. 156. — ISBN 0-306-41332-9.
  4. Сивухин Д.В. Общий курс физики // Поглощение света и уширение спектральных линий. — Москва, 2005. — С. 582—583. — 792 с. — ISBN ISBN 5-9221-0228-1.
  5. S. Chapman and T. G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases, 3rd. edition, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X, p. 88.
  6. Mean Free Path, Molecular Collisions. Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Дата обращения: 8 ноября 2011.
  7. Vincenti, W. G. and Kruger, C. H. Introduction to physical gas dynamics. — Krieger Publishing Company, 1965. — P. 414.
  8. S.G Jennings. The mean free path in air (англ.) // Journal of Aerosol Science. — 1988-04. — Vol. 19, iss. 2. — P. 159–166. — doi:10.1016/0021-8502(88)90219-4.

Ссылки[править | править код]