Задача Куратовского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Задача Куратовского — классическое упражнение в общей топологии, основанное на результате Казимира Куратовского.[1]

Формулировки[править | править код]

Оригинальная[править | править код]

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и дополнения.

Вариация[править | править код]

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и внутренности.

Решение[править | править код]

Ответы в задачах соответственно 14 и 7. В обоих формулировках, максимальное число подмножеств достигается для следующего подмножества вещественной прямой с обычной топологией:

Для второй формулировки, максимальность следует из соотношений на замыкание и внутренность

Последние два тождества легко следуют из первых двух и следующих двух соотношений:

если , то и .

Поскольку , то есть дополнение внутренности равно замыканию дополнения, максимальность в обоих формулировках эквивалентна.

Рекомендации[править | править код]

  1. Kazimierz Kuratowski. Sur l'operation A de l'Analysis Situs (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — Polish Academy of Sciences, 1922. — Vol. 3. — P. 182—199. — ISSN 0016-2736.


Литература[править | править код]