Разность множеств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Venn A setminus B.svg

Разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств и обозначается как , но иногда можно встретить обозначение и .

Пусть и  — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

Это множество часто называют дополнением множества до множества . (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, . Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством и его относительное дополнение , при обозначении которого часто опускается значок универсума: [источник не указан 89 дней]; при этом говорится, что  — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что , то есть дополнение множества до множества есть пересечение множества и дополнения множества .

Также применяется и операторная запись вида , или (если опустить универсальное множество) .

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть . Тогда
  • Пусть  — множество всех вещественных чисел,  — множество рациональных чисел, а  — множество целых чисел. Тогда  — множество всех иррациональных чисел, а  — дробных.

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольные множества.

  • Свойства пустого множества относительно разности:
  • Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:
  • . Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
  • Разность не пересекается с вычитаемым:
  • Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:
  • , если .
  • Если и , то
  • Если , то для любого выполняется . Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если , то для любого справедливо .

Компьютерные реализации[править | править вики-текст]

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

Дополнение множества[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума , то определяется операция дополнения:

Свойства[править | править вики-текст]

В частности, если оба и непусты, то является разбиением .
  • Законы разности множеств:

Кодировка[править | править вики-текст]

Графема Название Юникод HTML LaTeX
COMPLEMENT U+2201 ∁ \complement

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
  • Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х.. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.