Задача плоской деформации

Задача плоской деформации — ряд задач, рассматриваемых в теории упругости и теории пластичности. В ней рассматриваются вопросы, отличающиеся по содержанию, но объединенные математическим методом решения.

В задаче о плоской деформации рассматривается частное решение уравнений теории упругости, в котором перемещения $u,v$ предполагаются не зависящими от координаты $x_{3}=z$, тогда как $w$ не зависит от $x,y$, а его зависимость от $z$ может быть линейной:

$u=u(x,y),\quad v=v(x,y),\quad w=ez+w_{0}\qquad (1)$

Очевидным следствием этих предположений является отсутствие напряжений $\tau _{zx},\tau _{yz}$:

$\tau _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)=0,\quad \tau _{yz}=\mu \left({\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\right)=0$

и независимость от z остающихся компонент $\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy},\sigma _{z}$ тензора напряжений.

Плоская деформация реализуется, например, в призматическом теле, теоретически бесконечной длины, нагруженном поверхностными и объемными силами, перпендикулярными оси z. Тогда все поперечные сечения тела находятся в одинаковых условиях, чем оправдывается задание перемещений в форме (1). Это позволяет вместо рассмотрения всей области, занятой телом, ограничиться рассмотрением его элемента, выделенного двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми равно единице. Главный вектор и главный момент относительно оси $x_{3}$ внешних сил, приложенных к элементу, по условию должны обращаться в нуль. Исходя из равенств (1) и закона Гука, можно получить значения компонент тензора деформаций.