Замкнутое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

За́мкнутое мно́жество — подмножество топологического пространства с топологией , дополнение к которому открыто: .

Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто. Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .

Связанные определения[править | править код]

  • Замыкание множества топологического пространства  — минимальное по включению замкнутое множество , содержащее . Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.
  • Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве   содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества [1].

История[править | править код]

Замкнутые множества были введены Георгом Кантором в 1884 году.[2]

Примечания[править | править код]

  1. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.
  2. G. Cantor. “De la puissance des ensembles parfaits de points”. Acta Math. 4.1 (1884). Extrait d’une lettre adressée à l’éditeur, pp. 381–392.

Литература[править | править код]