Замкнутое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано топологическое пространство . Множество называется замкнутым относительно топологии , если существует открытое множество такое, что .

Замыкание[править | править вики-текст]

Замыканием множества топологического пространства называют минимальное по включению замкнутое множество , содержащее .

Замыкание множества обычно обозначается , или ; последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что рассматривается как множество в пространстве .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Множество замкнуто тогда и только тогда, когда .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
  • Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
  • Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве   содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества  [1].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.

Литература[править | править вики-текст]

  • Завало С. Т.  Елементи аналізу. Алгебра многочленів. — Київ: Радянська школа, 1972.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В.  Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 575 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Фихтенгольц Г. М.  Основы математического анализа. — М.: Наука, 1954.