Идеал полугруппы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Идеал полугруппы — подмножество полугруппы , которое замкнуто относительно умножения на элементы из , где под умножением понимается алгебраическая операция над полугруппой.

Определение[править | править код]

Непустое подмножество полугруппы называется левым идеалом , если: , где  — множество произведений элементов и .

называется правым идеалом, если: .

называется двусторонним идеалом, если выполнены оба этих условия. Также называют просто идеалом, если оно является левым или правым идеалом [источник не указан 931 день].

В произвольной полугруппе для любого непустого подмножества произведение является правым идеалом,  — левым, а  — двусторонним.

Тривиальными идеалами, которыми обладает любая полугруппа, являются множество, состоящее из нулевого элемента полугруппы (если он есть), и вся полугруппа.

Примеры[править | править код]

  • Множество чётных чисел образует двусторонний идеал полугруппы натуральных чисел относительно операции умножения . Это следует из того факта, что чётное число умноженное на любое другое будет чётным.
  • Множество константных функции — двусторонний идеал полугруппы всех вещественных функций относительно операции композиции:
Пусть  — множество всех константных функций (то есть для любой , значение не зависит от ).
Чтобы множество было двусторонним идеалом , оно должно быть одновременно и левосторонним и правосторонним идеалом .
  1.  — левосторонний идеал , так как
  2.  — правосторонний идеал, так как
  • Пусть  — подмножество всех периодических функций.
    1. является левым идеалом относительно суперпозиции. Множество значений периодической функции представляет собой периодическую последовательность (, где  — период функции), очевидно, что функция от периодической последовательности является периодической функцией:
    2. Но не является правым идеалом. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести один пример, когда найдутся такие и , что условие не выполняется. Возьмем функции: , , результатом суперпозиции которых будет непериодическая функция .
  • Пусть  — полугруппа всех квадратных матриц порядка относительно операции умножения, тогда множество, состоящее из матриц, у которых все элементы фиксированного столба равны образует левый идеал.
  • Пусть  — множество всех вырожденных матриц. Тогда  — двусторонний идеал , так как произведение вырожденной матрицы на любую другую будет вырожденной матрицей.

Главные идеалы полугрупп[править | править код]

Главным идеалом (левым, правым, двусторонним) полугруппы , порожденным элементом , называется наименьший идеал (соответственно левый, правый, двусторонний), содержащий .Главные левый, правый и двусторонний идеалы можно записать как:

Если в полугруппе существует нейтральный элемент , то главные левый, правый, двусторонний идеалы соответственно принимают вид:

=
=
=

Выделим несколько главных идеалов из приведенных выше примеров:

1) Множество чётных чисел является главным двусторонним идеалом полугруппы . Так как каждый элемент множества представляется в виде 2, то его порождающим элементом является 2.

2) Доказано, что множество константных функций есть двусторонний идеал полугруппы всех вещественных функций относительно суперпозиции. Возьмем некую константную функцию за порождающий элемент. Тогда множество вида порождает множество , так как охватывает всевозможные вещественные функции (достаточно взять множество функций вида = +, где ) откуда вытекает, что  — главный левый идеал. Однако, не порождает , поэтому не является главным правым идеалом.

Литература[править | править код]

  • Е. С. Ляпин, «Полугруппы» 1960 г.