Вырожденная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вы́рожденная ма́трица (синонимы: сингуля́рная ма́трица, осо́бая ма́трица, осо́бенная ма́трица) — квадратная матрица определитель которой равен нулю.

Эквивалентные условия вырожденности[править | править код]

Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности:

  • Строки или столбцы матрицы линейно зависимы. Иными словами, в вырожденной матрице существует как минимум две строки (или два столбца) и отвечающие условию где a — скаляр. В частности, вырождена любая квадратная матрица, содержащая нулевой столбец или строку.
  • Квадратная матрица вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор такой, что Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро.
  • Квадратная матрица вырождена тогда и только тогда, когда у неё есть хотя бы одно нулевое собственное значение Это вытекает из уравнения, которому удовлетворяют все собственные значения матрицы: (где E — единичная матрица), а также из того факта, что определитель матрицы равен произведению её собственных значений.

Свойства[править | править код]

  • У вырожденной матрицы нет стандартной обратной матрицы. В то же время у вырожденной матрицы есть псевдообратная матрица (обобщённая обратная матрица) или даже их бесконечное количество.
  • Ранг вырожденной матрицы меньше её размера (числа строк).
  • Произведение вырожденной матрицы и любой квадратной матрицы с тем же размером даёт вырожденную матрицу. Это вытекает из свойства Вырожденная матрица, возведённая в любую целую положительную степень, остаётся вырожденной. Произведение любого количества матриц вырождено тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей вырожден. Произведение невырожденных матриц не может быть вырожденным.
  • Транспонирование вырожденной матрицы оставляет её вырожденной (поскольку транспонирование не изменяет определитель матрицы, ).
  • Умножение вырожденной матрицы на скаляр оставляет её вырожденной (поскольку , где n — размер вырожденной матрицы A, α — скаляр).
  • Эрмитово-сопряжённая матрица вырожденной матрицы вырождена (поскольку определитель эрмитово-сопряжённой матрицы комплексно сопряжён с определителем исходной матрицы и, следовательно, равен нулю).
  • Союзная (взаимная, присоединённая) матрица вырожденной матрицы вырождена (это вытекает из свойства союзных матриц ). Произведение вырожденной матрицы на союзную ей матрицу даёт нулевую матрицу: поскольку для произвольной квадратной матрицы
  • Треугольная (и, в частности, диагональная) матрица вырождена тогда и только тогда, когда хотя бы один из её элементов на главной диагонали нулевой. Это вытекает из того, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали.
  • Если матрица A вырождена, то система уравнений имеет ненулевые решения.
  • Перестановка строк или столбцов вырожденной матрицы даёт вырожденную матрицу.
  • Вырожденная матрица, рассматриваемая как линейный оператор, отображает векторное пространство в его подпространство меньшей размерности.

Частные случаи[править | править код]

Вырожденными матрицами являются, в частности:

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]