Момент инерции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Момент инерции
J = \int r^2 \mathrm dm
Размерность

L2M

Единицы измерения
СИ

кг·м²

СГС

г·см²

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Осевой момент инерции[править | править исходный текст]

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

J_a=\sum_{i=1}^n m_i r_i^2\,\!,

где:

  • mi — масса i-й точки,
  • ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV\,\!,

где:

  • dm=\rho dV — масса малого элемента объёма тела dV,
  • \rho — плотность,
  • r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

J_a=\rho\int\limits_{(V)} r^2dV\,\!

Теорема Гюйгенса — Штейнера[править | править исходный текст]

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

~J=J_c+md^2,

где ~m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

~J=J_c+md^2=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ml^2

Осевые моменты инерции некоторых тел[править | править исходный текст]

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело Описание Положение оси a Момент инерции Ja
Traegheit a punktmasse.png Материальная точка массы m На расстоянии r от точки, неподвижная ~mr^2
Traegheit b zylindermantel.png Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m Ось цилиндра ~mr^2
Traegheit c vollzylinder.png Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m Ось цилиндра \frac{1}{2}mr^2
Traegheit d hohlzylinder2.png Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1 Ось цилиндра m \frac{r_2^2+r_1^2}{2}
Traegheit e vollzylinder 2.png Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс {1 \over 4} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2
Traegheit f zylindermantel 2.png Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс {1 \over 2} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2
Traegheit g stab1.png Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс \frac{1}{12}ml^2
Traegheit h stab2.png Прямой тонкий стержень длины l и массы m Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец \frac{1}{3}ml^2
Traegheit i kugel1.png Тонкостенная сфера радиуса r и массы m Ось проходит через центр сферы \frac{2}{3}mr^2
Traegheit j kugel1.png Шар радиуса r и массы m Ось проходит через центр шара \frac{2}{5}mr^2
Cone (geometry).svg Конус радиуса r и массы m Ось конуса \frac{3}{10}mr^2
Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину \frac{1}{24}m(a^2+12h^2)
Правильный треугольник со стороной a и массой m Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс \frac{1}{12}ma^2
Квадрат со стороной a и массой m Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс \frac{1}{6}ma^2

Вывод формул[править | править исходный текст]

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Сплошной конус

Сплошной однородный шар

Тонкостенная сфера

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников[1][2]

Безразмерные моменты инерции планет и спутников[править | править исходный текст]

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.[3][4]

Центробежный момент инерции[править | править исходный текст]

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

J_{xy}=\int\limits_{(m)} xydm=\int\limits_{(V)} xy\rho dV\,\!

J_{xz}=\int\limits_{(m)} xzdm=\int\limits_{(V)} xz\rho dV\,\!

J_{yz}=\int\limits_{(m)} yzdm=\int\limits_{(V)} yz\rho dV\,\!

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции[править | править исходный текст]

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

J_y = \int_{F}^{} z^2dF
J_z = \int_{F}^{} y^2dF

где z — расстояние от центральной оси y(z) до любой элементарной площадки dF относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см4.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

W=\frac{J}{r_{max}}.
Геометрические моменты инерции некоторых фигур
Прямоугольника высотой h и шириной b: J_y =\frac{bh^3}{12}

J_z =\frac{hb^3}{12}

Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам H и B, а по внутренним h и b соответственно J_z =\frac{BH^3}{12}-\frac{bh^3}{12}=\frac{1}{12}(BH^3-bh^3)

J_y =\frac{HB^3}{12}-\frac{hb^3}{12}=\frac{1}{12}(HB^3-hb^3)

Круга диаметром d  J_y=J_z =\frac{\pi d^4}{64}

Центральный момент инерции[править | править исходный текст]

Центральный момент инерции ~J_O (или момент инерции относительно точки O) — это величина

J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV\,\!,

где:

  • ~dm=\rho dV — масса малого элемента объёма тела dV,
  • ~\rho — плотность,
  • ~r — расстояние от элемента dV до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: ~J_O=J_{xy}+J_{yz}+J_{xz}=\frac{1}{2}\left(J_x+J_y+J_z\right).

Тензор инерции и эллипсоид инерции[править | править исходный текст]

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором ~\vec s =  \left \Vert s_x ,  s_y , s_z \right \Vert^T  ,\left \vert \vec s \right \vert=1 , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

~ I_s= \vec s^T \cdot \hat J \cdot \vec s \qquad (1),

где ~ \hat J  — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры ~ 3 \times 3 и состоит из компонент центробежных моментов:

~  \hat J = \left \Vert  \begin{array}{ccc} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \\ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \\-J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} \end{array} \right \Vert ,  ~ J_{xy}= J_{yx}, J_{xz}= J_{zx},  J_{zy}= J_{yz},
~J_{xx}=\int\limits_{(m)} (y^2+z^2)dm , J_{yy}=\int\limits_{(m)} (x^2+z^2)dm,  J_{zz}=\int\limits_{(m)} (x^2+y^2)dm .

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора ~  \hat J :
~ \hat J_d = \hat Q^T \cdot \hat J \cdot \hat Q ; ~  \hat J_d = \left \Vert  \begin{array}{ccc} J_{X} & 0 & 0 \\ 0 & J_{Y} & 0 \\0 & 0 & J_{Z} \end{array} \right \Vert ,
где ~ \hat Q  — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины ~ J_{X},J_{Y},J_{Z}  — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

~ I_s= J_{X} \cdot s_x^2 +J_{Y} \cdot s_y^2 + J_{Z} \cdot s_z^2   ,

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на ~ I_s

~ \left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{X}  + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Y} + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Z}  =1

и произведя замены:

~ \xi=  {s_x \over \sqrt {I_s}}, \eta=  {s_y \over \sqrt {I_s}}, \zeta=  {s_z \over \sqrt {I_s}} ,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ~ \xi \eta \zeta:

~ \xi^2 \cdot J_{X}  + \eta^2 \cdot J_{Y} + \zeta^2 \cdot J_{Z}  =1

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

~ r^2 = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2  + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2  + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 = {1 \over I_s}

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Planetary Fact Sheet
  2. Showman, Adam P.; Malhotra, Renu (1999). «The Galilean Satellites» (PDF). Science 286 (5437): 77–84. DOI:10.1126/science.286.5437.77. PMID 10506564.
  3. Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. — М.: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с. — (Планета Земля и Вселенная). — 15 000 экз. — ISBN 502005951X
  4. Пантелеев В. Л. Физика Земли и планет. Гл. 3.4 — Гравитационное поле планеты

Литература[править | править исходный текст]

  • Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
  • Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
  • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
  • Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки[править | править исходный текст]