Эксцентриситет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эллипс (e=½), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом и директрисой. .

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается или .

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение[править | править код]

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число . Тогда геометрическое место точек , для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно , является коническим сечением. То есть, если есть проекция на , то

.

Это число  называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения[править | править код]

  • Точка называется фокусом конического сечения.
  • Прямая называется директрисой.
Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, а также парабола (при y=0), на одной поверхности третьего порядка

Свойства[править | править код]

  • В зависимости от эксцентриситета, получится:
    • при  — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
    • при  — парабола;
    • при  — эллипс;
    • для окружности полагают .
  • Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году[1]) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра[2].
  • Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой () и большой () полуосей:
.
  • Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой () и действительной () полуосей:
.
  • Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением , равен .
  • Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- () и апоцентров ():

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — P. 90.
  2. The Oxford English Dictionary. — 2nd ed. — Oxford : Clarendon Press, 1989. — Vol. V. — P. 50.

Литература[править | править код]