Инвариант Концевича

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Инвариант Концевича, (или интеграл Концевича[1]) — инвариант ориентированного оснащённого зацепления определённого типа. Является универсальным инвариантом Васильева[2] в том смысле, что каждый коэффициент инварианта Концевича является инвариантом конечного типа, и наоборот, любой инвариант конечного типа может быть представлен в виде линейной комбинации таких коэффициентов. Является далеко идущим обобщением простой интегральной формулы для числа зацепления[3].

Инвариант был определён Максимом Львовичем Концевичем в 1992 году в доказательстве теоремы Васильева — Концевича.

Инвариант Концевича является универсальным квантовым инвариантом[en] в том смысле, что любой квантовый инвариант может быть получен путём подстановки подходящей весовой системы в диаграмму Якоби.

Определение[править | править код]

Инвариант Концевича определяется как монодромия связности Книжника — Замолодчикова[en] в дополнении к объединению диагональных гиперплоскостей в Cn[4].

Простейший интеграл типа Концевича[править | править код]

Представим трехмерное пространство как прямое произведение комплексной прямой с координатой z и вещественной прямой с координатой t. Вложим зацепление в пространство так, чтобы координата t была функцией Морса на L. Это значит, что во всех точках, где t как функция параметра на кривой имеет нулевую производную, ее вторая производная не должна обращаться в нуль, а значения t во всех таких точках (критические значения) должны быть различны между собой[5]. Оказывается, число зацепления можно тогда сосчитать по такой формуле:

Формула Концевича[править | править код]

(Исходный) интеграл Концевича узла K — это следующий элемент пополнения алгебры хордовых диаграмм[5]:

Объяснение этой формулы см. в статье С. В. Дужина. Если обозначить через H тривиальный узел, вложение которого в пространство даёт два максимума и два минимума, получим[6]:

,

где c — число критических точек функции t на K.

Можно показать, что интеграл , во-первых, сходится для любого узла, расположенного в пространстве указанным выше способом, а во-вторых, не меняется при гладких изотопиях узла, при которых сохраняется число критических точек функции t. Ввиду того, что узел — замкнутая кривая, появляться и исчезать критические точки могут только парами.

называется окончательным интегралом Концевича

Интеграл Концевича — довольно сложный объект, и в течение нескольких лет никто не умел вычислять окончательный интеграл Концевича даже для тривиального узла. Известны были лишь коэффициенты при некоторых хордовых диаграммах в бесконечной сумме.

В 1997 году появилась гипотеза Д. Бар-Натана с соавторами[7] (доказана в 1998[8]), что[9]

,

здесь O — неузел (окружность), эквивалентный H, — модифицированные числа Бернулли, а колёса, т.е. диаграммы в виде окружности с радиальными отрезками. Произведения колёс понимаются как несвязное объединение диаграмм, а сами колёса интерпретируются как линейные комбинации диаграмм Фейнмана (см. ниже).

Диаграмма Якоби[править | править код]

Диаграмма Фейнмана и хордовая диаграмма[править | править код]

Диаграмма Фейнмана степени n — это связный трёхвалентный граф с 2n вершинами, в котором выделен ориентированный цикл, называемый петлёй Уилсона[10]. Хордовая диаграмма является частным случаем диаграмм Фейнмана (у них все трёхвалентные вершины лежат на петле Уилсона). Степень диаграммы Фейнмана — это половина общего числа вершин графа. Диаграмма Фейнмана называется связной, если соответствующий граф остаётся связным после отбрасывания петли Уилсона[3].

Определение[править | править код]

Пример диаграммы Якоби

Пусть X — окружность (которая является 1-мерным многообразием и будет служить петлёй Уилсона). Как показано на рисунке справа, диаграмма Якоби порядка n является графом с 2n вершинами, в котором внешняя окружность (петля Уилсона) отражена сплошной линией, а пунктирные линии называются внутренним графом, который удовлетворяет следующим условиям:

  1. Направление указывается только на внешнем цикле.
  2. Вершины имеют значения 1 или 3. Вершины со значением 3 связаны с одним из других (полу)рёбер по часовой или против часовой стрелки, что отражено в маленькой ориентированной окружности.

Вершины со значением 1 часто называют одновалентными, а со значением 3 — трёхвалентными[11]. Одновалентные вершины связаны с внешней окружностью без кратности и упорядочены ориентацией окружности. Диаграмма Якоби может быть несвязной, при этом требуется, чтобы в каждой компоненте связности была хотя бы одна одновалентная вершина[11]. Рёбра на G называются хордами. Мы обозначаем как A(X) факторпространство коммутативной группы, образованной всеми диаграммами Якоби на X по следующим соотношениям:

(Соотношение AS) Jacobi diagram AS1.svg + Jacobi diagram AS2.svg = 0
( Соотношение IHX) Jacobi diagram IHXI.svg = Jacobi diagram IHXH.svgJacobi diagram IHXX.svg
( Соотношение STU) Jacobi diagram STUS.svg = Jacobi diagram STUT.svgJacobi diagram STUU.svg
(Соотношение FI) Jacobi diagram FI.svg = 0.

Если любая связная компонента графа G имеет вершину со значением 3, то мы можем превратить диаграмму Якоби в хордовую диаграмму с помощью рекурсивного применения соотношения STU. Если ограничиться только хордовыми диаграммами, то четыре соотношения выше сводятся к следующим двум соотношениям:

(Четырёхчленное соотношение) Jacobi diagram 4T1.svgJacobi diagram 4T2.svg + Jacobi diagram 4T3.svgJacobi diagram 4T4.svg = 0.
(Соотношение FI) Jacobi diagram FI.svg = 0.

Замечание: В диаграммах Якоби разрешены кратные рёбра и висячие петли[12].

Свойства[править | править код]

Взяв среднее арифметическое по всем способам приклеивания петли Уилсона к одновалентным вершинам, любую диаграмму Якоби можно превратить в линейную комбинацию диаграмм Фейнмана[11].

Работать с диаграммами Якоби удобнее, чем с диаграммами Фейнмана, поскольку, помимо общей градуировки половиной числа вершин, есть ещё две дополнительные градуировки: по числу компонент связности и по числу одновалентных вершин[13].

  • Степень или порядком диаграммы Якоби определяется как половина суммы чисел её вершин. Это число всегда является целым и равно числу хорд в хордовой диаграмме, полученной из диаграммы Якоби[12].
  • Подобно плетениям[en], диаграммы Якоби образуют моноидальную категорию. Композиция и тензорное произведение морфизмов определяются методом «укладки коробок»:

Jacobi diagram – Monoidal.svg

Иначе говоря, тензорное произведение морфизмов — это несвязное объединение, а композиция — склейка соответствующих частей границы[14].

    • В специальном случае, когда X является интервалом I, A(X) будет коммутативной алгеброй. Если рассматривать A(S1) как алгебру с умножением, определённым как связная сумма, A(S1) изоморфна A(I).
  • Диаграмму Якоби можно рассматривать как абстракцию представления тензорной алгебры, порождённой алгебрами Ли, что позволяет нам определить некоторые операции, аналогичные to копроизведениям, коединицам и антиподам алгебр Хопфа.
  • Поскольку Инварианты Васильева (инварианты конечного типа) тесно связаны с хордовыми диаграммами, можно построить сингулярный узел из хордовой диаграммы G на S1. Kn обозначает пространство, образованное всеми сингулярными узлами степени n, каждый такой G определяет единственный элемент в Km / Km+1.

Весовая система[править | править код]

Отображение из диаграмм Якоби в положительные числа называется весовой системой. Отображение, расширенное на A(X), также называется весовой системой. Системы имеют следующие свойства:

  • Пусть g — полупростая алгебра Ли, а ρ — её представление. Мы получаем весовую систему путём «подстановки» инвариантного тензора g в хорду диаграммы Якоби и ρ в базисном многообразии X диаграммы Якоби.
    • Мы можем рассматривать трёхвалентные вершины диаграмм Якоби как скобочное произведение алгебры Ли, стрелки сплошной линии как представление пространства ρ, а одновалентные вершины как действия алгебры Ли.
    • Соотношение IHX и соотношение STU соответствуют соответственно тождеству Якоби и определению представления
ρ([a, b])v = ρ(a)ρ(b)vρ(b)ρ(a)v.

История[править | править код]

Диаграммы Якоби были введены по аналогии с диаграммами Фейнмана, когда Концевич определил инварианты узла через кратные интегралы в первой половине 1990-х годов[16]. Он представлял сингулярные точки хордами, таким образом, он работал только с хордовыми диаграммами. Д. Бар-Натан позднее сформулировал их как одно- и трёхвалентные графы, изучал их алгебраические свойства и назвал их в своей статье "диаграммами китайских иероглифов" (Chinese character diagrams)[17]. Для обозначения этих диаграмм использовались разные термины, включая «хордовые диаграммы» и «диаграммы Феймана», но примерно с 2000-го года они получили название диаграмм Якоби, поскольку соотношение IHX соответствует тождеству Якоби для алгебр Ли.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]