Категория запятой

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий, категория запятой — специальная конструкция, предосталяющая способ изучения морфизмов не как соотнесений объектов категории друг с другом, а как самостоятельных объектов. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального (придуманного Ловером) обозначения, которое включало в себя знак запятой. Впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства.

Определение[править | править вики-текст]

Общий случай[править | править вики-текст]

Пусть и  — категории, а и  — функторы

Категорию запятой можно построить следующим образом:

  • Объекты — все тройки вида , где  — объект ,  — объект , и  — морфизм в .
  • Морфизмы из в  — все пары , где ,  — морфизмы в и соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:

Композиция морфизмов берется как , если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта  — это .

Два частных случая[править | править вики-текст]

Рассмотрим два частных случая, которые более просты и встречаются очень часто.

Первый случай — категория объектов над . Пусть в предыдущем определении ,  — тождественный функтор и (категория с одним объектом и одним морфизмом). Тогда для некоторого объекта категории . В этом случае используют обозначение . Объекты вида  — это просто пары , где . Иногда в этой ситуации обозначают как . Морфизм из в  — это морфизм , замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

CommaCategory-01.png

Двойственный случай — категория объектов под . Здесь  — функтор из 1 и  — тождественный функтор. В этом случае используют оьозначение , где  — объект , в который отображает . Объекты — пары , где . Морфизм между и  — отображение , замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:

CommaCategory-02.png

Категория стрелок[править | править вики-текст]

Ещё один частный случай — когда и  — тождественные функторы в (так что ). В этом случае категория запятой называется категорией стрелок . Её объекты — морфизмы , а её морфизмы — коммутативные квадраты в .[1]

Свойства[править | править вики-текст]

Для любой категории стрелок определены два забывающих функтора из неё:

  • Функтор прообраза , который отображает:
    • объекты: ;
    • морфизмы: ;
  • Функтор образа, , который отображает:
    • объекты: ;
    • морфизмы: .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой , где  — функтор, выбирающий некоторый синглетон и  — тождественный функтор в категории множеств. Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой .
  • Категория графов — это категория запятой , где  — функтор, отправляющий в . Объекты вида состоят из двух множеств и функции;  — индексирующее множество для ребер,  — множество вершин, тогда выбирает пару элементов для каждого , то есть выбирает определенное ребро из множества возможных ребер . Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.

Сопряжения[править | править вики-текст]

Функторы и сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой и изоморфны, причем эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент . Это позволяет описать сопряженные функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.

Естественные преобразования[править | править вики-текст]

Если образы совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в с совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование . Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определенный класс морфизмов вида , тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию , где соответствует функтор который отображает объект в и морфизмы в . Это задает биекцию между естественными преобразованиями и функторами , которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Adámek Jiří. Abstract and Concrete Categories. — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 0-471-60922-6.

Литература[править | править вики-текст]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.